Frobenius formă normală

În algebra liniară , forma normală Frobenius a unui operator liniar A este forma canonică a matricei sale, corespunzătoare descompunerii minime a unui spațiu liniar într-o sumă directă de subspații invariante sub A, care poate fi obținută ca un interval liniar al unor vector și imaginile sale sub acțiunea lui A. Va fi matrice bloc-diagonală constând din celule Frobenius ale speciei

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

O astfel de matrice se numește polinom însoțitor . $x^{n}+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots +a_{0}$

Enunțul teoremei

Fie V un spațiu vectorial de dimensiuni finite peste un câmp k , A fi un operator liniar pe acest spațiu. Atunci există o bază V astfel încât matricea A din această bază este bloc-diagonală , blocurile sale sunt matrici însoțitoare pentru polinoame unitare astfel încât este divizibil cu . Polinoamele sunt definite în mod unic. $f_{i}$ $f_{{i+1}}$ $f_{i}$ $f_{i}$

Dovada

Un operator liniar pe un spațiu vectorial face din acel spațiu un modul peste un inel polinomial k [ x ] (înmulțirea cu x corespunde aplicării unui operator liniar). Un inel polinomial este euclidian , deci un domeniu ideal principal , deci putem aplica teorema de structură pentru modulele generate finit peste inelele ideale principale . Și anume, folosim descompunerea spațiului într-o sumă directă de factori invarianți. Un factor individual este de forma k[x]/f(x) , fie gradul lui f n . Alegem o bază în acest subspațiu ca imagini ale polinoamelor 1, x, x 2 ... x n-1 în maparea de factorizare, este ușor de observat că matricea operatorului „înmulțire cu x” în această bază coincide cu matricea însoțitoare a polinomului f(x) . Alegând baze de acest tip în fiecare factor, obținem o matrice de tipul cerut. Din invarianța factorilor din teorema structurii rezultă invarianța polinoamelor . $f_{i}$

Exemple

Un exemplu de poziție generală.

Dacă toate valorile proprii ale unei matrice sunt diferite, atunci forma sa normală Frobenius va fi o matrice formată dintr-un singur bloc:

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

iar numerele sunt coeficienții polinomului caracteristic. $a_{{i}}$

Blocurile multiple pot apărea numai dacă valorile proprii ale matricei sunt aceleași.

exemplu extrem.

Considerăm o matrice scalară, adică o matrice diagonală astfel încât toate numerele de pe diagonală să fie egale cu același număr . Pentru o astfel de matrice, forma sa normală Frobenius va fi ea însăși. Adică, fiecare valoare de pe diagonală este un subbloc Frobenius de 1 cu 1. Și toate polinoamele sunt egale între ele și egale cu . Rețineți că atunci când este conjugată de orice matrice, o matrice scalară rămâne ea însăși, adică conjugarea, în principiu, nu își poate schimba forma, ceea ce corespunde faptului că ea însăși este forma sa normală Frobenius. $\lambda$ $f_{i}$ $x-\lambda$

Pentru o matrice 2 pe 2 care este o celulă Jordan:

${\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix})$ forma sa normală Frobenius este matricea: . Adică un bloc 2 câte 2. În special, este ușor de observat că urmele și determinanții acestor matrici sunt aceleași. ${\begin{pmatrix}0&-\lambda ^{2}\\1&2\lambda \end{pmatrix}}$

Pentru o matrice 3 pe 3 care este o celulă Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end {pmatrix))

forma sa normală Frobenius este matricea:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda ^{3}\\1&0&-3\lambda ^{2}\\0&1&3\lambda \end{pmatrix}}

Aceste exemple arată că coincidența valorilor proprii nu este o condiție suficientă pentru apariția mai multor blocuri. (Deși este necesar - așa cum s-a menționat mai sus).

Aceste exemple sunt generalizate în cazul matricelor de dimensiune arbitrară - pentru o celulă Jordan de dimensiune completă, forma sa normală Frobenius are un singur bloc, iar ultima coloană este dată de coeficienții polinomului luați cu semnul minus. (Acest polinom este caracteristic și minim pentru această matrice). $(x-\lambda )^{n)$

O matrice care are o formă normală Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&1&0\\0&\lambda _{1}&\\0&0&\lambda _{2}\end {pmatrix))

(pentru ).

\lambda _{1}\neq \lambda _{2)

are o formă normală Frobenius constând dintr-un singur bloc 3 cu 3:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}\\1&0&-\lambda _{1}^{2}-2\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&2\lambda _{1}+\lambda _{1}\end{pmatrix}}

Polinomul este , este un polinom caracteristic și minim. $f_{1}$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

Exemple cu două blocuri.

Luați în considerare o matrice care are o formă normală Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{1}&0\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(pentru ).

\lambda _{1}\neq \lambda _{2)

forma sa normală Frobenius este o matrice formată din două subblocuri, primul 1 cu 1 și al doilea 2 cu 2:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&0&-\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&(\lambda _{1}+\lambda _{2}) \end{pmatrix}}

Polinoamele sunt date prin formule și este ușor de observat că (adică un polinom împarte un polinom ) . Un polinom este un polinom minim. $f_{i)$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})$ $f_{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ $f_{2)$ $f_{2}$

O matrice care are o formă normală Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}

forma sa normală Frobenius este o matrice formată din două subblocuri, primul 1 cu 1 și al doilea 2 cu 2:

{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&0&-\lambda ^{2}\\0&1&2\lambda \end{pmatrix))

Polinoamele sunt date prin formule și este ușor de observat că (adică un polinom împarte un polinom ). Un polinom este un polinom minim. $f_{i)$ $f_{1}=(x-\lambda )$ $f_{2}=(x-\lambda )^{2)$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ $f_{2)$ $f_{2}$

Exemple suplimentare. Dacă o matrice este nilpotentă, atunci formele sale normale iordaniene și Frobenius coincid (până la transpunere). Într-adevăr, valorile proprii ale matricei nilpotente sunt egale cu zero, la fel ca și coeficienții polinomului caracteristic, adică elementele netriviale ale ambelor forme dispar, iar unitățile, până la transpunere, sunt situate în ambele forme în la fel.

Proprietăți

Cel mai mare dintre polinoame coincide cu polinomul minim al matricei. Produsul tuturor polinoamelor este egal cu polinomul caracteristic al matricei. Dimensiunile blocurilor în forma normală Frobenius sunt aceleași cu puterile polinoamelor . Proprietatea implică în mod evident o coincidență identică a polinoamelor dacă acestea au același grad. Prin urmare, dacă blocurile în forma normală Frobenius au aceeași dimensiune, atunci coincid identic. $f_{i)$ $f_{i)$ $f_{i}|f_{i+1}$ $f_{i},f_{i+1}$

Literatură

Gantmakher F. R. Teoria matricei. - a 5-a ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. — ISBN 5-9221-0524-8 .
Milovanov M. V., Tolkachev M. M., Tyshkevich R. I., Fedenko A. S. Ch . 83. — 269 p.
David S. Dummit și Richard M. Foote. Algebră abstractă. Ediția a 2-a, John Wiley & Sons. pp. 442, 446, 452-458. - ISBN 0-471-36857-1 .