Problema triunghiului Cobon

Probleme nerezolvate la matematică :
Câte triunghiuri care nu se suprapun pot fi formate printr-o configurație de k linii?

Problema triunghiului Kobon este o problemă de geometrie combinatorie nerezolvată formulată de Kozaburo Fujimura (藤村 幸三郎 fujimura ko:zaburo: ) , cunoscută și sub numele de Kobon. Problema se întreabă care este numărul maxim N ( k ) de triunghiuri care nu se suprapun, ale căror laturi aparțin unei configurații de k linii . O variantă a problemei este considerată în plan proiectiv , și nu în plan euclidian, iar în acest caz se cere ca triunghiurile să nu fie intersectate de alte drepte ale configurației [1] .

Limite superioare

Saburo Tamura a demonstrat că cel mai mare număr întreg care nu depășește k ( k  − 2)/3 dă o limită superioară a numărului maxim de triunghiuri nesuprapuse obținute din k drepte [2] . În 2007, Johannes Bader și Gilles Clément ( germană:  Johannes Bader , franceză:  Gilles Clément ) au găsit o limită mai puternică, demonstrând că limita superioară a lui Tamura nu poate fi atinsă pentru orice k congruent cu 0 sau 2 modulo 6 [3] . Prin urmare, numărul maxim de triunghiuri este cu unul mai mic decât limita Tamura pentru aceste cazuri. Soluțiile perfecte (rezolvarea problemei Cobon, dând numărul maxim de triunghiuri) sunt cunoscute pentru k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 și 17 [4] . Pentru k = 10, 11 și 12, cele mai cunoscute soluții sunt cu o mai mică decât limita superioară.

Având în vedere o soluție perfectă cu k 0 linii, alte soluții la problema triunghiului Cobon pot fi găsite pentru toate valorile lui k i , unde

folosind procedeul lui D. Forge și J. L. Ramirez Alfonsin [1] [5] . De exemplu, soluția pentru k 0 = 3 are ca rezultat numărul maxim de triunghiuri care nu se suprapun pentru k = 3, 5, 9, 17, 33, 65, …

k 3 patru 5 6 7 opt 9 zece unsprezece 12 13 paisprezece cincisprezece 16 17 optsprezece 19 douăzeci 21 OEIS
Limita superioară a Tamura pentru N ( k ) unu 2 5 opt unsprezece 16 21 26 33 40 47 56 65 74 85 96 107 120 133 [6]
Limita superioară a lui Clément și Bader unu 2 5 7 unsprezece cincisprezece 21 26 33 39 47 55 65 74 85 95 107 119 133 —
Cele mai cunoscute soluții unu 2 5 7 unsprezece cincisprezece 21 25 32 38 47 53 65 72 85 93 104 115 130 [7]

Exemple

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Forge, Ramírez Alfonsín, 1998 , p. 155–161.
  2. ^ Weisstein, Eric W. Kobon Triangle pe site- ul Wolfram MathWorld .  
  3. ↑ G. Clément și J. Bader. Mai strâns. Limită superioară pentru numărul de triunghiuri Kobon. Versiune nefinalizată (link indisponibil) (2007). Preluat la 10 martie 2016. Arhivat din original la 11 noiembrie 2017. 
  4. ↑ Ed Pegg Jr. pe Math Games Arhivat pe 11 martie 2016 la Wayback Machine .
  5. ↑ Cod Matlab care ilustrează procedura lui D. Forge și JL Ramirez Alfonsin Arhivat la 8 martie 2021 la Wayback Machine . Preluat la 9 mai 2012.
  6. ↑ Secvența A032765 în OEIS .
  7. ↑ Secvența A006066 în OEIS .

Literatură

Link -uri