Isophota

Isophote ( ing. Isophote ) - o curbă pe o suprafață iluminată, care leagă puncte cu aceeași luminozitate . Să presupunem că iluminarea este creată de un fascicul de raze paralele de lumină, iar luminozitatea este exprimată prin produsul scalar $b$

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi \ .

${\vec {n}}(P)$ este un vector unitar normal la suprafață în punctul , iar vectorul este un vector unitar în direcția de propagare a luminii. În cazul în care lumina este perpendiculară pe normala pe suprafață, punctul este un punct de pe silueta suprafeței în direcția . O luminozitate de 1 înseamnă că fasciculul de lumină este perpendicular pe suprafață. În plan, în cadrul ipotezei că fasciculul de raze este paralel, nu vor exista izofoți. $P$ ${\vec {v}}$ $b(P)=0$ $P$ ${\vec {v}}$

În astronomie, o izofoto este o curbă pe o imagine a unui obiect care conectează puncte de luminozitate egală. [unu]

Aplicație și exemplu

În sistemele de proiectare asistată de computer, izofotele sunt utilizate pentru a controla optic netezimea îmbinării suprafețelor. Pentru o suprafață (dată implicit sau parametric) care este diferențiabilă suficient de ori, vectorul normal depinde de primele derivate. În consecință, diferențiabilitatea izofoților și continuitatea lor geometrică sunt cu 1 ordin mai mici decât suprafața însăși. Dacă doar planurile tangente sunt continue într-un punct de pe suprafață (netezimea de ordinul 1), atunci izofoții au rupturi (netezimea doar de ordinul zero).

În exemplul următor, două suprafețe Bézier care se intersectează sunt acoperite de o porțiune a celei de-a treia suprafețe. În figura din stânga, suprafața de acoperire atinge suprafețele Bezier cu ordinea de netezire 1, în figura din dreapta, cu ordinea de netezire 2. Din figurile în sine, diferența dintre situații este puțin vizibilă, dar studiul geometricului. continuitatea izofoților arată: în figura din stânga, izofotele au rupturi (netezimea de ordinul 0), iar în figura din dreapta, izofotele arată netede (netezimea de ordinul 1).

Izofote pe două suprafețe Bézier: îndoituri sunt vizibile în stânga, izofote netede în dreapta.

Determinarea punctelor izofote

pe o suprafață implicită

Pentru o suprafață dată implicit cu ecuația, izofoții satisfac egalitatea $f(x,y,z)=0$

{\frac {\nabla f\cdot {\vec {v)}}{|\nabla f|}}=c\ .

Aceasta înseamnă: punctele de pe izofot cu parametrul dat reprezintă soluția sistemului neliniar $c$

$\ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v))-c\;|\nabla f(x,y,z) )|=0\ ,$

care poate fi considerată ca o linie de intersecţie a două suprafeţe definite implicit. Folosind algoritmul prezentat de Bajaj et al.(vezi referințele), un poligon poate fi calculat din puncte izofote.

pe o suprafață definită parametric

În cazul unei suprafețe specificate parametric , ecuația pentru izofoți are forma ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$

{\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S }}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ ,

care este echivalent cu expresia

$\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S} }_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .$

Această ecuație descrie o curbă definită implicit în planul st, care poate fi reprezentată folosind un algoritm adecvat și convertită cu ajutorul în puncte de pe suprafață. ${\vec {S}}(s,t)$

Literatură

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , p. 31.
Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Biometric Recognition , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , p. 158.
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections , (1988) Comp. Ajutat Geom. Design 5, pp. 285–307.
C.T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods , Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , p. 209.

Note

↑ J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , p. 178.