Ecuația integrală a Volterra

Ecuația integrală Volterra (ortografia ecuației integrale Volterra [1] este de asemenea comună ) este un tip special de ecuații integrale . Propus de matematicianul italian Vito Volterra și studiat ulterior de Traian Lalescu în Sur les équations de Volterra , scris în 1908 sub conducerea lui Émile Picard . În 1911, Lalescu a scris prima carte despre ecuații integrale. Ecuațiile sunt folosite în demografie, studiul materialelor vâscoelastice, în matematica asigurărilor prin ecuația de recuperare.

Aceste ecuații sunt împărțite în două tipuri.

Ecuația liniară Volterra de primul fel:

f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds

unde este o funcție dată și este o funcție necunoscută. $f$ $X$

Ecuația liniară Volterra de al doilea fel:

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds

În teoria operatorilor și în teoria Fredholm , ecuațiile corespunzătoare sunt numite operator Volterra .

Funcția din integrală este adesea numită nucleu . Astfel de ecuații pot fi analizate și rezolvate folosind metoda lui Laplace. $K$

Ecuații cu un nucleu omogen

Primul fel

f(t)=\int _{0}^{t}K(ts)\,x(s)\,ds

Soluția se bazează pe transformarea Laplace . Efectuând transformarea Laplace a ambelor părți ale ecuației și notând-o cu o tildă:

{\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)

În acest fel,

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}({\tilde {K}}(p)))

Dacă pentru funcții tind să , respectiv, atunci pentru funcția mare . Aceasta înseamnă că există o contribuție -funcțională de făcut. Astfel, soluția arată ca $t\la 0$ $K(t),f(t)$ $K_{0},f_{0)$ $p$ ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$ $\delta$

x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac { dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)))-{\frac { f_{0}}{K_{0}}}}\dreapta)

Al doilea fel

f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(ts)x(s)\,ds

Raționament similar duce la faptul că

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)))

Aici nu apare cazul de incertitudine și

x(t)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{ \tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\right)

Note

↑ Verzhbitsky M.V. Metode numerice (analiza matematică și ecuații diferențiale ordinare). Ghid de studiu . - Directmedia, 2014. - S. 351. - 400 p. — ISBN 9785445838760 .