Teoria operatorilor

Teoria operatorilor este o ramură a analizei funcționale care studiază proprietățile mapărilor liniare continue între spațiile normate . În general, un operator este un analog al celei mai obișnuite funcții sau matrice dintr-un spațiu finit-dimensional. Dar operatorul poate acționa și în spații cu dimensiuni infinite.

O mapare de la un spațiu vectorial la un spațiu vectorial se numește operator if liniar pentru oricare și în și orice scalari și . Deseori scris în loc de . Se spune că un operator liniar dintr-un spațiu normat într-un spațiu normat este mărginit dacă există un număr real pozitiv astfel încât pentru toate în . Cea mai mică constantă care satisface această condiție se numește norma operatorului și se notează cu . Este ușor de observat că un operator liniar între spații normate este mărginit dacă și numai dacă este continuu . Termenul „operator” în analiza funcțională înseamnă de obicei un operator liniar mărginit . $T$ $X$ $Y$ $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ $X$ $y$ $X$ $\alfa$ $\beta$ $Tx$ $T(x)$ $X$ $Y$ $M$ $\lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert$ $X$ $X$ $M$ $T$ $\lVert T\rVert$

Mulțimea tuturor operatorilor (liniari mărginiți) de la un spațiu normat la un spațiu normat se notează cu . În cazul când scriu în loc de . Dacă este un spațiu Hilbert , atunci se scrie de obicei în loc de . Pe , se poate introduce structura unui spațiu vectorial prin și , unde , , și este un scalar arbitrar. Cu norma operator introdusă, se transformă într-un spațiu normat . $X$ $Y$ $L(X,\;Y)$ $X=Y$ $L(X)$ $L(X,\;X)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$ $L(X,\;Y)$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,\;S\în L(X,\;Y)$ $x,\;y\în X$ $\alfa$ $L(X,\;Y)$

În special, și pentru orice scalar și arbitrar . Un spațiu este Banach dacă și numai dacă este Banach . $\lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert$ $\lVert \alpha T\rVert =\left|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert$ $T,\;S\în L(X,\;Y)$ $\alfa$ $L(X,\;Y)$ $Y$

Fie și să fie spații normate, și . Compoziția și se notează și se numește produsul operatorilor și . În același timp și . Dacă este un spațiu Banach , atunci echipat cu un produs este o algebră Banach . $X Y$ $Z$ $S\în L(X,\;Y)$ $T\in L(Y,\;Z)$ $S$ $T$ $TS$ $S$ $T$ $TS\în L(X,\;Z)$ $\lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert$ $X$ $L(X)$

Există mai multe secțiuni principale în teoria operatorilor:

Teoria spectrală studiază spectrul unui operator .
Clasele de operatori. În special, operatori compacti , operatori Fredholm , izomorfisme , izometrii , operatori strict singulari , etc. Sunt de asemenea studiati operatori nemărginiți și operatori parțial definiți, în special operatori închiși .
Operatori pe spații normate speciale.
- Pe spațiile Hilbert , ei studiază operatori autoadjuncți , normali , unitari , pozitivi etc.
- Pe spații funcționale: operatori diferențial , pseudo -diferențial , integral și pseudo-integral ; operatori de înmulțire , înlocuire , înlocuire cu greutate etc.
- Pe zăbrele Banach : operatori pozitivi , operatori obișnuiți etc.
Seturi de operatori (adică submulțimi ): algebre de operatori, semigrupuri de operatori etc. $L(X)$
Teoria subspațiilor invariante .

Literatură

Sadovnichiy V. A. Teoria operatorilor. - M .: Editura din Moscova. un-ta, 1979.
Dunford N., Schwartz J. Operatori liniari. Teoria generala. — M.: IL, 1962. — 896 p.
Dunford N., Schwartz J. Operatori liniari. Teoria spectrală. — M.: Mir. 1966. - 1064 p.