Logaritm integral

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 aprilie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Logaritmul integral este o funcție specială definită de integrală

{\mathrm {li}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Pentru a elimina singularitatea la , se folosește uneori logaritmul integral deplasat : $x=1$

{\mathrm {Li}}\,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Aceste două funcții sunt legate de:

{\mathrm {li}}\,(x)-{\mathrm {Li}}\,(x)={\mathrm {li}}\,(2)\aproximativ 1{,}045~163~780~ 117~492\ldots

Logaritmul integral a fost introdus de Leonhard Euler în 1768.

Logaritmul integral și funcția exponențială integrală sunt legate prin relația:

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x).

Logaritmul integral are un singur zero pozitiv într-un punct ( numărul Ramanujan-Soldner ). $\mu \aprox 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$

Extinderea seriei

Din identitatea se leagă și urmează seria: ${\mathrm {li}}\,(x)$ ${\mathrm {Ei}}(\ln x)$

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},

unde este constanta Euler-Mascheroni . $\gamma \aprox 0{,}577~215~664~901~532\ldots$

Seria derivată de Srinivasa Ramanujan converge mai repede :

{\mathrm {li}}\,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1 )^{{n-1}}(\ln x)^{n}}{2^{{n-1}}n!}}\sum _{{k=0}}^{{\lfloor (n -1)/2\rfloor }}{\frac {1}{2k+1}}.

Logaritmul integral și distribuția numerelor prime

Logaritmul integral joacă un rol important în studiul distribuției primelor . Este o mai bună aproximare a numărului de numere prime mai mici sau egale cu un număr dat decât . Dacă ipoteza Riemann este adevărată, [ 1] $x/\ln {x}$

\pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).

Pentru nu prea mari , însă, se dovedește că pentru unele suficient de mari , inegalitatea își schimbă semnul. Acest număr se numește numărul Skewes , cunoscut în prezent a fi undeva între 10 19 [2] și 1,3971672 10 316 ≈ e 727,951336108 [3] . $X$ $\pi (x)<{\mathrm {Li}}\,(x)$ $X$

Note

↑ Modern. prob. Mat., 2008, numărul 11. - p. 30-31
↑ Jan Buthe. O metodă analitică pentru mărginirea ψ ( x ) // Math. Comp. - 2018. - Vol. 87. - P. 1991-2009. - arXiv : 1511.02032 . doi : 10.1090 / mcom/3264 . Demonstrarea folosește ipoteza Riemann.
↑ Yannick Sauter, Timothy Trudgian și Patrick Demichel. O regiune încă mai clară în care π ( x ) − li( x ) este pozitiv // Math. Comp. - 2015. - Vol. 84. - P. 2433-2446. - doi : 10.1090/S0025-5718-2015-02930-5 . MR : 3356033 _ Această estimare nu necesită ipoteza Riemann.

Literatură

Dicţionar enciclopedic matematic. - M. , 1995. - p. 238.