Formula de interpolare Whittaker-Shannon
Formula de interpolare Whittaker-Shannon este utilizată pentru a reconstrui un semnal continuu cu un spectru limitat dintr-o secvență de eșantioane distanțate egal.
Formula de interpolare, așa cum este numită de obicei, se întoarce la lucrarea lui Émile Borel , datată 1898, și la lucrarea lui Edmund Whittaker , datată 1915. Formula de interpolare a fost citată din lucrarea fiului lui Edmund Whittaker, John McNaten Whittaker, datată 1935, sub forma teoremei de eșantionare Nyquist-Shannon în 1949, autorul editorialului a fost Claude Shannon , înainte de Shannon această teoremă a fost formulată de Kotelnikov . De asemenea, formula de interpolare este de obicei numită formula de interpolare a lui Shannon sau formula de interpolare a lui Whittaker .
Teorema de eșantionare afirmă că, în anumite condiții limită , o funcție poate fi reconstruită din discretizarea ei, , conform formulei de interpolare Whittaker-Shannon :
![{\displaystyle x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty}x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T))\ dreapta),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d2d2f00e664ba75bdd968b2ae659ab41e7ded)
unde este perioada de eșantionare, este frecvența de eșantionare, este funcția sinc normalizată .
Condiții la limită
Există două condiții la limită pe care trebuie să le îndeplinească funcția pentru ca formula de interpolare să fie valabilă:
- ar trebui să fie limitată. Transformarea Fourier pentru o funcție trebuie să aibă următoarea proprietate: pentru , unde .
- Frecvența de eșantionare trebuie să fie de cel puțin mai mult de două ori intervalul de frecvență, , sau echivalent:
unde este perioada de eșantionare.
Formula de interpolare recreează semnalul original numai atunci când aceste două condiții sunt îndeplinite. În caz contrar, există o suprapunere a componentelor de înaltă frecvență pe cele de joasă frecvență - aliasing .
Interpolarea ca sumă de convoluții
Formula de interpolare derivată din teorema lui Kotelnikov indică faptul că poate fi exprimată și ca o convoluție a „pieptenelui” Dirac cu funcția sinc :
![{\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left ({\frac {t}{T}}\dreapta).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e87c26466baa6a011c9ef6b59a06c04f223fe)
Aceasta este echivalentă cu filtrarea „pieptene” lui Dirac cu un filtru trece-jos ideal .
Convergență
Formula de interpolare converge întotdeauna, desigur și local uniform, cu condiția:
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n))\right|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98dad55190ee968c1c9dc795abb0ee2583f8d8)
Inegalitatea lui Hölder este considerată satisfăcută dacă șirul aparține oricăruia dintre - spații , unde , ceea ce este echivalent cu condiția:
![{\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0c91be80ad27a84ec791ae7244bcf2ec9298d)
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245713d910b10a53e503661536c3123c1d6e8e7b)
Această condiție este suficientă, dar nu necesară.
Procese staționare aleatorii
If este o succesiune infinită de citiri ale unei funcții discrete în sensul larg al unui proces staționar și nu este membru al niciunui sau -spațiu, cu probabilitatea 1; atunci suma acestor citiri, ridicată la putere , nu ia valoarea finală așteptată. Deși formula de interpolare converge cu o probabilitate de 1. Convergența poate fi demonstrată cu ușurință prin calcularea diferenței în condiții de însumare limitată și arată că diferența poate fi făcută arbitrar mică prin alegerea unui număr suficient de condiții. Dacă acest proces este diferit de zero, atunci perechile de condiții trebuie luate în considerare în așa fel încât să arate că valoarea așteptată din expresiile mărginite converge către zero.
Deoarece procesul aleatoriu nu are o transformată Fourier , condiția în care suma converge către funcția inițială trebuie să fie și ea diferită. Un proces aleator neschimbător are o funcție de autocorelare și, prin urmare, o densitate monocromatică, în conformitate cu teorema Wiener-Khinchin . O condiție suficientă pentru convergența la o funcție discretă a acestui proces este ca densitatea spectrală să fie zero la toate frecvențele mai mari sau egale cu jumătate din eșantionare.