Funcția de autocorelare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 mai 2021; verificările necesită 3 modificări .

Funcția de autocorelare - dependența relației dintre funcție (semnal) și copia sa deplasată de mărimea deplasării în timp.

Pentru semnalele deterministe, funcția de autocorelare ( ACF ) a semnalului este determinată de integrala : $f(t)$

\Psi (\tau)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau)\mathrm {d} t

și arată conexiunea semnalului (funcția ) cu o copie a lui însuși, deplasată cu valoarea . Asteriscul înseamnă conjugare complexă . $\;f(t)$ $\tau$

Pentru procesele aleatoare, ACF-ul unei funcții aleatoare are forma [1] : $X(t)$

K(\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\)

unde este așteptarea matematică , asteriscul înseamnă conjugare complexă . $\mathbb {E} \{\ \)$

Dacă funcția inițială este strict periodică , atunci graficul funcției de autocorelare va avea și o funcție strict periodică. Astfel, din acest grafic, se poate judeca periodicitatea funcției originale și, în consecință, caracteristicile de frecvență ale acesteia. Funcția de autocorelare este utilizată pentru a analiza fluctuații complexe , de exemplu, o electroencefalogramă umană .

Aplicație în inginerie

Proprietățile de corelare ale secvențelor de cod utilizate în sistemele de bandă largă depind de tipul secvenței de cod, lungimea acesteia, frecvența simbolurilor sale și de structura simbol cu simbol.

Studiul ACF joacă un rol important în alegerea secvențelor de cod în ceea ce privește cea mai mică probabilitate de stabilire a sincronizării false.

Alte utilizări

Funcția de autocorelare joacă un rol important în modelarea matematică și analiza seriilor temporale , arătând timpii caracteristici pentru procesele studiate (vezi, de exemplu: Turchin P.V. Dinamica istorică. M .: URSS , 2007. ISBN 978-5-382-00104 -3 ). În special, ciclurile în comportamentul sistemelor dinamice corespund maximelor funcției de autocorelare a unui parametru caracteristic.

Speed computing

Este adesea necesar să se calculeze funcția de autocorelare pentru o serie de timp . Calculul frontal funcționează pentru . Cu toate acestea, există o modalitate de a face acest lucru pentru . $x_{i}$ $O(T^2)$ $O(T\log T)$

Metoda se bazează pe teorema Khinchin-Kolmogorov (alias Wiener-Khinchin), care afirmă că funcția de autocorelare a unui semnal este transformata Fourier a densității sale spectrale de putere . Deoarece există un algoritm rapid de transformare Fourier pentru semnale discrete pentru calcularea spectrelor lor , care are o ordine de complexitate , este posibil să se accelereze calculul funcției de autocorelare prin calcularea spectrului semnalului, apoi a puterii acestuia (pătratul modulului). ) și apoi transformata Fourier inversă. $O(T\log T)$

Esența metodei este următoarea. Puteți face o transformare inversă a datelor unu-la-unu, numită transformată Fourier , care le va pune într-o corespondență unu-la-unu cu un set de date într-un alt spațiu, numit spațiu de frecvență (spectrul de frecvență al semnalului - -- setul de amplitudini spectrale). În loc să calculăm direct funcția de autocorelare pe datele noastre inițiale, putem efectua operația corespunzătoare acesteia pe datele corespunzătoare din spațiul de frecvență al spectrului Fourier, care se face în timp liniar O (T) - calculul funcției de autocorelare în spaţiul de frecvenţă corespunde calculului puterilor de frecvenţă prin pătrarea modulelor amplitudinilor spectrale . După aceea, folosind puterile spectrale obținute, vom restabili valorile funcției de autocorelare corespunzătoare acestora în spațiul obișnuit. Calculul spectrului dintr-o funcție și invers se face folosind transformata Fourier rapidă , calculul densității spectrale de putere în spațiul de frecvență se face în O(T). Astfel, am obținut un câștig în timp în calcule. $O(T\log T)$

Instruire. Scădeți media aritmetică din serie . Să transformăm în numere complexe . Umplutură cu zerouri la . Apoi adăugați mai multe zerouri până la sfârșit. $2^k$ $2^k$

Calcul. Funcția de autocorelare este calculată folosind transformata Fourier rapidă și este direct proporțională cu primele elemente ale secvenței $n$

\Psi(\tau) \sim \operatorname{Re} \operatorname{fft}^{-1}\left(\left|\operatorname{fft}(\vec x)\right|^2\right)

Pătratul modulului complex este luat element cu element: . Dacă nu există erori de calcul, partea imaginară va fi zero. Factorul de proporționalitate este determinat din cerință . $\left|\vec a\right|^2 = \left\{ \operatorname{Re}^2 a_i + \operatorname{Im}^2 a_i \right\}$ $\Psi(0)=1$

Vezi și

Note

↑ Charles Therrien , Murali Tummala. Probabilitate și procese aleatorii pentru inginerii electricieni și informatici. - CRC Press, 2012. - P. 287 . Consultat la 8 septembrie 2016. Arhivat din original pe 17 septembrie 2016. (nedefinit)

Link -uri

funcția xcorr în MATLAB