Înveliș injectiv

O carcasă injectivă este o construcție în geometrie metrică care oferă cel mai mic spațiu metric injectiv care include spațiul metric dat. Această construcție este similară în multe privințe cu construcția carcasei convexe pentru mulțimi din spațiul euclidian .

Învelișul injectiv a fost descris pentru prima dată de John Isbell în 1964. [1] Ulterior a fost redescoperit de mai multe ori. [2] [3]

Clădire

Pe un spațiu metric dat , toate funcțiile sunt considerate astfel încât $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$

f(x)+f(y)\geqslant |xy|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|

pentru orice

x,y\în M

pentru orice există așa ceva care este arbitrar mic.

x\în M

y\în M

f(x)+f(y)-|xy|_{M)

În plus, setul acestor funcții este furnizat împreună cu metrica

|fh|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.

Spațiul metric rezultat se numește corpul injectiv . $W$ $M$

Note

Spațiul poate fi gândit ca un subspațiu ; cartografierea necesară se obţine prin compararea fiecărui punct cu funcţia sa de distanţă . $M$ $W$ $M\la W$ $x\în M$ $z\mapsto |xz|_{M)$

Proprietăți

O carcasă injectivă este un spațiu injectiv .
Corpul injectiv al unui spațiu compact este compact.
- În special, orice spațiu compact este un subspațiu al unui spațiu compact cu lungimea metrică .
Fie și să fie învelișuri injective de spații metrice compacte și . Apoi ${\pălărie {X)}$ ${\pălărie {Y}}$ $X$ $Y$ $d_{GH}({\pălărie {X)),{\pălărie {Y}))\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),$

unde denota metrica Gromov-Hausdorff .

d_{GH}

Constanta 2 din această inegalitate este optimă. [patru]

Note

↑ Isbell, JR Șase teoreme despre spațiile metrice injective (engleză) // Commentarii Mathematici Helvetici : jurnal. - 1964. - Vol. 39 . - P. 65-76 . - doi : 10.1007/BF02566944 .
↑ Dress, Andreas WM (1984), Arbori volAdvances in Mathematics,, prelungiri strânse ale spațiilor metrice și dimensiunea coomologică a anumitor grupuri
↑ Chrobak, Marek & Larmore, Lawrence L. (1994), Generosity helps or an 11-competitive algorithm for three servers , Journal of Algorithms vol. 16 (2): 234–263 , DOI 10.1006/ jagm.1994.1011
↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Stabilitatea metrică a copacilor și deschiderile strânse // Arh . Matematică. (Basel). - 2013. - Vol. 101 , nr. 1 . — P. 91–100 .