Metrica internă

O metrică internă este o metrică în spațiu , definită folosind funcționalitatea lungime, ca infimă a lungimilor tuturor căilor (curbelor) care leagă o pereche dată de puncte.

Definiții

Să fie dat un spațiu topologic și să fie aleasă o clasă a unor căi admisibile care este conținută în mulțimea tuturor căilor continue în . $X$ $\Gamma$ $X$

O funcție de lungime este dată pe spațiu dacă este dată o funcție pe mulțimea care asociază fiecare cu o valoare (număr nenegativ sau infinit), care se numește lungimea căii . $X$ $\Gamma$ $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$ $\gamma \in \Gamma$ $L(\gamma )$ $\gamma$

O metrică a spațiului este numită internă dacă pentru oricare două puncte distanța dintre ele este determinată de formula în care infinitul este preluat pe toate căile admisibile care leagă punctele . $\rho$ $X$ $x,y\în X$ $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ $x,y\în X$

Definiții înrudite

Fie două puncte arbitrare ale unui spațiu metric și un număr pozitiv arbitrar. Un punct se numește punctul lor de mijloc dacă $x,y\în X$ $\rho ,X$ $\varepsilon$ $z_{\epsilon }\in X$ $\varepsilon$ $\rho (x,z_{\varepsilon}),\\rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2))\rho (x,y)+\varepsilon .$

Un spațiu metric se numește geodezic dacă oricare două puncte pot fi unite printr-o cale cea mai scurtă . $(X,\rho)$ $X$

Proprietăți

Dacă este un spațiu cu o metrică intrinsecă, atunci pentru oricare două puncte și oricare există mijlocul lor . În cazul în care spațiul metric este complet , are loc și afirmația inversă: dacă pentru oricare două puncte și oricare există mijlocul lor , atunci această metrică este internă. $(X,\rho)$ $x,y\în X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $(X,\rho)$ $x,y\în X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$
Un spațiu metric complet cu metrică intrinsecă are următoarea proprietate: pentru oricare două puncte și există o curbă de lungime care conectează punctele și . Mai mult, într-un spațiu metric complet cu metrică intrinsecă, lungimea celei mai scurte curbe coincide cu distanța dintre capete. $(X,\rho)$ $x,y\în X$ $\varepsilon >0$ $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ $X$ $y$
Teorema Hopf-Rinow : Dacă este un spațiu metric complet compact la nivel local cu metrică intrinsecă, atunci oricare două puncte pot fi conectate printr-o cale cea mai scurtă. Mai mult, spațiul este compact mărginit (adică toate submulțimile închise mărginite sunt compacte ). $(X,\rho)$ $X$ $X$ $X$

Vezi și

Literatură

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. , Curs de geometrie metrică. - Moscova-Ijevsk, Institutul de Cercetare în Calculatoare, 2004. ISBN 5-93972-300-4