Cvasi-varietate

O cvasi -varietate (din latină quas (i) „cum ar fi”, „ceva asemănător”) în algebra universală este o clasă de sisteme algebrice de semnătură fixă , axiomatizate de un set de cvasi-identități ( Horn disjuncts ).

Spre deosebire de varietăți , care sunt clase de sisteme algebrice axiomatizate de identități, metodele teoretice model joacă un rol deosebit în teoria cvasivarietăților, în timp ce varietățile sunt considerate în principal pentru algebre (sisteme algebrice fără relații în semnătură) și sunt studiate prin metode algebrice generale. [1] .

Definiții

Pentru un sistem algebric cu un set de operații și relații , formulele de forma sunt considerate cvasi -atomice: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\la A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\la A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$

$r_{i}(f_{j1}(x_{1},\dots,x_{n_{j))),\dots,f_{km_{i))(x_{k1},\dots,x_ {n_{k}})))$ (sau în notație de relație: ), $(f_{j1}(x_{1},\dots x_{n_{j))),\dots,f_{km_{i))(x_{k1},\dots,x_{n_{k} }))\în r_{i}$
$f_{j}(x_{1},\dots,x_{n_{j)))=f_{k}(x_{1},\dots,x_{n_{k)))}$ ,

unde , , și sunt simboluri ale variabilelor. (Uneori egalitatea este inclusă în semnătura unui sistem algebric ca relație, caz în care formulele de primul fel sunt suficiente.) $r_i \în R$ $f_i \în F$ $x_{i}$

Cvasi -identitățile sunt formule de forma:

{\displaystyle \forall x_{1},\dots,x_{k}\,{\big (}{\mathcal {F}}_{1}\land \dots \land {\mathcal {F}}_{ m}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{m+1}{\big )))

unde sunt formule cvasiatomice cu variabile . O cvasivarietate este o clasă de sisteme algebrice definite de un set de cvasiidentități. $\mathcal F_i$ $x_1,\dots x_k$

Proprietăți caracteristice

Orice varietate de sisteme algebrice este o cvasi-varietate datorită faptului că orice identitate (dintr-o formulă cvasi-atomică) poate fi înlocuită, de exemplu, cu o cvasi-identitate echivalentă cu aceasta [2] . $\forall x_{1},\dots,x_{n}\,{\mathcal {F))(x_{1},\dots x_{n})$ ${\displaystyle \forall x_{1},\dots,x_{n}\,{\big (}x_{1}=x_{1}\Rightarrow {\mathcal {F))(x_{1},\dots ,x_{n}){\big )))$

Dacă o cvasivarietate este finit axiomatizabilă, atunci este finit definibilă [3] .

Sistemul algebric identitar pentru o semnătură dată , adică un sistem susținut de un element , astfel încât și , este o quasivarietate (și, în plus, o varietate). Cea mai mică cvasi-varietate a unei semnături date este o varietate, este dată de identități și constă dintr-un singur sistem de identitate. Cea mai mare cvasi-varietate de semnătură din spate este, de asemenea, o varietate, clasa tuturor sistemelor unei semnături date, definită de identitate . [patru] $\langle F, R \rangle$ $e$ $\forall(f\in F)f(e, \dots e_i, \dots)=e$ $\forall(r\in R)(e, \dots e_i, \dots) \in r$ $\forall(x,y\in A)(x=y)$ $\forall(x_1, \dots x_k \in A)(x_1, \dots x_k)\in r$ $\forall(x)(x=x)$

Orice cvasi-varietate include un produs filtrat arbitrar al sistemelor sale constitutive [5] .

Pentru ca o clasă de sisteme să fie o cvasi-varietate, este necesar și suficient ca ea să fie simultan închisă local, închisă multiplicativ (să conțină orice produs cartezian al sistemelor sale) și să conțină un sistem de identitate. Închiderea locală și multiplicativă pentru această caracteristică poate fi înlocuită în mod echivalent cu închiderea sub produse filtrate și ereditate[ clarifica ] [6] .

Relații constitutive

Compoziții gratuite

Grile de cvasivarietate

Istorie

Primul rezultat al aplicării cvasi-identităților în algebra generală este considerat a fi rezultatul lui Anatoly Maltsev în 1939 [7] , în care a fost construită o serie infinită de cvasi-identități, care caracterizează clasa semigrupurilor înglobate în grupuri . Într-o lucrare din 1943 a lui Chen McKinsey [8] el a conectat unele probleme algoritmice de algebră cu cvasi-identități și unul dintre rezultatele rezolvării de către Robert Dilworth în 1945 [9] a problemei existenței. a rețelelor nedistributive cu un singur complement a fost dovada faptului că cvasivarietățile au sisteme libere .

Teorema lui Novikov (1955) privind indecidibilitatea problemei egalității cuvintelor în grupuri înseamnă de fapt indecidibilitatea teoriei grupurilor Horn , adică poate fi atribuită și rezultatelor legate de cvasivarietăți.

Apariția teoriei cvasivarietăților ca ramură independentă a algebrei universale se referă la lucrările lui Maltsev, Tabata și Fujiwara la sfârșitul anilor 1950 și începutul anilor 1960. Raportul lui Maltsev la Congresul Internațional al Matematicienilor din 1966 de la Moscova, în care au fost formulate unele probleme importante legate de cvasivarietăți, a contribuit la creșterea interesului matematicienilor pentru această ramură [10] .

Un interes deosebit pentru teoria cvasivarietăților s-a manifestat în anii 1970, când logica Horn a început să fie utilizată pe scară largă în programarea logică (în primul rând în lucrările legate de limbajul de programare Prolog ) și în teoria bazelor de date .

Note

↑ Gorbunov, 1999 , Diferența fundamentală este că algebrele sunt studiate în teoria varietăților, în timp ce sistemele algebrice arbitrare sunt studiate în teoria cvasi-varietăților, p. viii.
↑ Maltsev, 1970 , p. 268.
↑ Maltsev, 1970 , p. 269-270.
↑ Maltsev, 1970 , p. 270.
↑ Maltsev, 1970 , p. 271.
↑ Maltsev, 1970 , Teorema 2, Corolarul 3, p. 271-272.
↑ Maltsev A.I. Despre includerea sistemelor asociative în grupuri // Colecție matematică. - 1999. - T. 6 , Nr. 2 . - S. 331-336 .
↑ McKinsey J. Problema decizionare pentru unele clase de propoziții fără cuantificatori // Journal of Symbolic Logic. - 1943. - T. 8 . - S. 61-76 .
↑ R.P. Dilworth. Grile cu complemente unice // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 1945. - T. 56 . - S. 123-154 .
↑ Gorbunov, 1999 , p. vii-viii.

Literatură

Gorbunov V. A. Teoria algebrică a cvasivarietăților. - Novosibirsk : Carte științifică, 1999. - 368 p. — (Școala siberiană de algebră și logică). - ISBN 5-88119-015-7 .
Aratmonov V. A.; Saliy V.N.; Skornyakov L. A.; Shevrin L. N.; Shulgeifer E. G. Algebre universale // Algebră generală / sub conducerea generală a lui Skornyakov L. A. . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.500 de exemplare. — ISBN 5-02-014427-4 .
Maltsev AI Sisteme algebrice. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 de exemplare.