Clasa Stiefel-Whitney

Clasa Stiefel-Whitney este o clasă caracteristică specifică corespunzătoare pachetului vectorial real . Notat de obicei prin . Ia valori în , un inel de coomologie cu coeficienți în . $E\rightarrow X$ $w(E)$ $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

Componenta din coomologiei este denumită și numită clasa Stiefel-Whitney a fasciculului , astfel încât $w(E)$ $i$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $w_{i}(E)$ $i$ $E$

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.

Clasele sunt obstacole în construcția celei de-a treia secțiuni liniar independente mărginite pe cel de-al treilea schelet . $w_{i}(E)$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $(n-i+1)$ $E$ $i$ $X$

Definiție axiomatică

Aici și mai jos, denotă coomologia singulară a unui spațiu cu coeficienți în grupul . $H^{i}(X;\;G)$ $X$ $G$

Clasa Stiefel-Whitney este definită ca o mapare care atribuie unui pachet un element al inelului de omologie în așa fel încât să fie valabile următoarele axiome: $E$ $w(E)$

Naturalitate :pentru orice pachetși mapare, undedenotă pachetul indus corespunzător peste. $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ $E\la X$ $f:X'\la X$ $f^{*}E$ $X'$
$w_{0}(E)=1$ în . $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
$w_{1}(\gamma ^{1})$ este un generator (condiție de normalizare). Iată pachetul tautologic . $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\gamma ^{1}$
$w(E\oplus F)=w(E)\smalsmile w(F)$ ( Formula produsului Whitney ).

Se poate demonstra că clasele care satisfac aceste axiome există cu adevărat și sunt unice (cel puțin pentru un spațiu paracompact ) [1] $X$

Construcție inițială

Clasele Stiefel-Whitney au fost propuse de E. Stiefel și H. Whitney ca o reducere modulo a 2 clase care măsoară obstacolele la construcția celei de-a treia secțiuni liniar independente mărginite pe cel de-al treilea schelet . (Aici este dimensiunea fibrei de fibrare ). $w_{i}(E)$ $(n-i+1)$ $E$ $i$ $X$ $n$ $F$ $E$

Mai precis, dacă este un complex CW , Whitney a definit clase în al- lea grup de coomologie celulară cu coeficienți non-standard. $X$ $W_{i}(E)$ $i$ $X$

Și anume, al -lea grup de homotopie a varietatii Stiefel de mulțimi dintr-un vector liniar independent din strat este luat ca coeficienți . Whitney a demonstrat că pentru clasele pe care le-a construit, dacă și numai dacă pachetul restrâns la -schelet are o secțiune liniar independentă. $(i-1)$ $V_{n-i+1}(F)$ $n-i+1$ $F$ $W_{i}(E)=0$ $E$ $i$ $X$ $n-i+1$

Deoarece grupul de homotopie al unei varietăți Stiefel este întotdeauna infinit ciclic sau izomorf , există o reducere canonică a claselor la clase , care sunt numite clase Stiefel-Whitney . $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ $\mathbb{Z } _{2}$ $W_{i}(E)$ $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$

În special, dacă , atunci aceste clase pur și simplu coincid. $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2)$

Definiții înrudite

Dacă lucrăm la o varietate de dimensiune , atunci orice produs al claselor Stiefel-Whitney de grad general poate fi asociat cu clasa fundamentală a acestei varietăți, rezultând un element ; astfel de numere sunt numite numere Stiefel-Whitney ale pachetului vectorial. De exemplu, pentru un pachet pe o varietate tridimensională, există trei numere Stiefel-Whitney liniar independente care corespund lui , și . În cazul general, dacă varietatea este -dimensională, diferite numere Stiefel-Whitney corespund partițiilor într-o sumă de termeni întregi. $n$ $n$ $\mathbb{Z } _{2}$ $\mathbb{Z } _{2}$ ${\displaystyle w_{1}^{3))$ $w_{1}w_{2)$ $w_{3)$ $n$ $n$
- Numerele Stiefel-Whitney ale unui pachet tangent la o varietate netedă se numesc numerele Stiefel-Whitney ale acestei varietăți. Sunt invarianți de cobordism .
Harta de reducere naturală modulo doi, , corespunde homomorfismului Bockstein $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2)$ $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\la H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z}).$

Imaginea clasei sub acțiunea sa, , se numește clasa Stiefel-Whitney cu numărul întreg .

w_{i}

\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )

(i+1)

În special, a treia clasă întreagă Stiefel-Whitney este un obstacol în calea construcției unei structuri. $\mathrm {Rotire} ^{C}$

Proprietăți

Dacă pachetul are secțiuni care sunt liniar independente peste fiecare punct, atunci . $E^{k)$ $s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell )$ $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$
$w_{i}(E)=0$ la . $i>\mathrm {rang} (E)$
Prima clasă Stiefel-Whitney dispare dacă și numai dacă pachetul este orientabil. În special, o varietate este orientabilă dacă și numai dacă . $M$ $w_{1}(TM)=0$
Pachetul admite o structură spinor dacă și numai dacă prima și a doua clasă Stiefel-Whitney dispar ambele.
Pentru un pachet orientabil, a doua clasă Stiefel-Whitney se află în imaginea hărții naturale (sau, în mod echivalent, așa-numita clasă Stiefel-Whitney a treia întreagă dispare) dacă și numai dacă pachetul admite o -structură. $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\la H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathrm {Rotire} ^{C}$
Toate numerele Stiefel-Whitney ale unei varietăți compacte netede dispar dacă și numai dacă această varietate este limita (indiferent de orientare) a unei varietăți compacte netede. $X$

Literatură

Prasolov VV Elemente de teoria omologiei.
Husemoller D. fascicule de fibre. — Springer-Verlag, 1994.
Milnor J. , Stashev J. Clasele caracteristice. - M . : Mir, 1979. - 371 p.

Note

↑ vezi secțiunile 3.5 și 3.6 din cartea lui Hughesmoller sau secțiunea 8 din Milnor-Stashew.