Pachet de vectori

Un mănunchi vectorial este o construcție geometrică specifică corespunzătoare unei familii de spații vectoriale parametrizate de un alt spațiu (de exemplu, poate fi spațiu topologic , varietate sau structură algebrică ): fiecare punct al spațiului este asociat cu un spațiu vectorial astfel încât uniunea lor se formează un spațiu de același tip ca (spațiu topologic, varietate sau structură algebrică etc.), numit spațiul unui mănunchi vectorial peste . Spațiul însuși se numește baza pachetului . $X$ $X$ $X$ $X$ $V_{x}$ $X$ $X$ $X$

Un mănunchi vectorial este un tip special de mănunchiuri triviale la nivel local , care la rândul lor sunt un tip special de mănunchiuri .

De obicei se iau în considerare spațiile vectoriale peste numere reale sau complexe . În acest caz, mănunchiurile vectoriale sunt numite reale sau, respectiv, complexe. Mănunchiurile vectoriale complexe pot fi considerate ca fiind reale cu o structură suplimentară.

Exemple

Cel mai simplu exemplu este un mănunchi trivial , care are forma unui produs direct , unde este un spațiu topologic (baza mănunchiului) și este un spațiu vectorial. $X\time V$ $X$ $V$
Un exemplu mai complicat este mănunchiul tangent al unei varietăți netede : fiecare punct de pe varietate este asociat cu un spațiu tangent la varietate în acel punct. Mănunchiul tangent poate fi, în general, netrivial.
Un alt exemplu de pachet non-trivial este banda Möbius . Începem cu un mănunchi trivial de dimensiunea 1 peste un segment și lipim liniile la capetele acestuia conform regulii . Acesta este un exemplu de pachet vectorial care nu poate fi orientat. $[0,1]$ $[0,t]\sim [1,-t]$

Definiții

Un mănunchi vectorial este un fascicul local trivial a cărui fibră este un spațiu vectorial, cu un grup de structură de transformări liniare reversibile . $V$ $V$

Definiții înrudite

Un subgrup U al unui pachet vectorial V pe un spațiu topologic X este o colecție de subspații liniare , , care are ea însăși structura unui mănunchi vectorial. $U_{x}\subset V_{x}$ $x\în X$
Un pachet de linii este un pachet vectorial de rang 1.

Morfisme

Un morfism de la un pachet vectorialla un pachet vectorialeste dat de o pereche de mapări continueșiastfel încât $\pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1)$ $\pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2)$ $f\colon E_{1}\to E_{2)$ $g\colon X_{1}\la X_{2)$

$g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$
pentru orice , maparea indusă este o mapare liniară a spațiilor vectoriale. $x\in X_{1}$ $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$ $f,$

Rețineți că este definit (deoarece este o suprajecție); în acest caz, ei spun că acoperă . $g$ $f$ $\pi_{1}$ $f$ $g$

Clasa tuturor pachetelor vectoriale, împreună cu morfismele fasciculelor, formează categoria . Restricționându-ne la mănunchiuri de vectori care sunt varietăți netede și morfisme netede de mănunchiuri, obținem categoria fasciculelor de vectori netede . Morfismele de pachete vectoriale sunt un caz special de mapare a pachetelor între fasciculele triviale la nivel local, ele fiind adesea numite un homomorfism de mănunchiuri (vectorale) .

Omomorfismul fasciculelor de la la împreună cu homomorfismul invers se numește izomorfismul fasciculelor (vectorale) . În acest caz, fasciculele sunt numite izomorfe . Un izomorfism al unui pachet vectorial (rang ) peste un pachet trivial (rank over ) se numește trivializare , în timp ce se numește trivial (sau trivializabil ). Este clar din definiția unui pachet vectorial că orice pachet vectorial este trivial la nivel local . $E_1$ $E_2$ $E_1$ $E_2$ $k$ $E$ $X$ $k$ $X$ $E$ $E$

Operațiuni pe pachete

Majoritatea operațiunilor pe spații vectoriale pot fi extinse la pachetele vectoriale făcând punctual .

De exemplu, dacă este un fascicul vectorial pe , atunci există un fascicul pe , numit fascicul dual , a cărui fibră într-un punct este spațiul vectorial dual . Formal , poate fi definit ca un set de perechi , unde și . Pachetul dual este local trivial. $E$ $X$ $E^{*}$ $X$ $x\în X$ $(E_{x})^{*}$ $E^{*}$ $(x,\varphi )$ $x\în X$ $\varphi \in E_{x}^{*}$

Există multe operații functoriale efectuate pe perechi de spații vectoriale (pe un singur câmp). Ele se extind direct la perechi de pachete de vectori pe (peste un câmp dat). Aici sunt cateva exemple. $E,F$ $X$

Suma Whitney , sau fasciculul sumei directe a lui și, este un fascicul vectorialpe, a cărui fibră într-un puncteste suma directă a spațiilor vectorialeși. $E$ $F$ $E\oplus F$ $X$ $X$ $E_{x}\oplus F_{x}$ $E_{x)$ $F_{x}$

Un mănunchi de produs tensor este definit în mod similar, utilizând produsele tensorale punctuale ale spațiilor vectoriale. $E\otimes F$

Un fascicul de homomorfism ( hom-bundle ) este un fascicul vectorial a cărui fibră într-un punct este spațiul mapărilor liniare de la la (deseori notat cu sau ). Acest pachet este util deoarece există o bijecție între homomorfismele pachetelor vectoriale de la până la și părțile către . $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $X$ $E_{x)$ $F_{x}$ $\operatorname {Hom} \,(E_{x}, F_{x})$ $L(E_{x},F_{x})$ $E$ $F$ $X$ $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $X$

Vezi și

Link -uri

Mishchenko A.S. Pachetele de vectori și aplicațiile acestora. - M .: Știință. Cap. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1984. - 208 p.
Jurgen Jost. Geometrie Riemanniană și Analiză Geometrică - (2002) Springer-Verlag, Berliná ISBN 3-540-42627-2 - Vezi secțiunea 1.5 .
Ralph Abraham , Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, - (1978) Benjamin-Cummings, LondrabISBN 0-8053-0102-X -Vezi secțiunea 1.5.