Complex CW

CW-complex este un tip de spațiu topologic cu structură suplimentară (diviziunea celulară), introdus de Whitehead pentru a satisface nevoile teoriei homotopiei . În literatura rusă, sunt folosite și denumirile spațiu celular , diviziune celulară și complex celular . Clasa complexelor celulare este mai largă decât clasa complexelor simple , dar păstrează în același timp natura combinatorie, ceea ce permite calcule eficiente.

Definiții

O celulă n -dimensională deschisă este un spațiu topologic homeomorf cu o bilă n -dimensională deschisă (în special, o celulă cu dimensiune zero este un spațiu singleton ). Un complex CW este un spațiu topologic Hausdorff X reprezentat ca o uniune de celule deschise în așa fel încât pentru fiecare celulă n - dimensională deschisă să existe o mapare continuă f de la o bilă n -dimensională închisă la X a cărei restricție la interiorul mingea este un homeomorfism la această celulă ( cartografie caracteristică ). În acest caz, se presupune că sunt îndeplinite două proprietăți:

(C) Limita fiecărei celule este conținută în unirea unui număr finit de celule de dimensiuni mai mici;
(W) O submulțime de X este închisă dacă și numai dacă intersecția sa cu închiderea fiecărei celule este închisă.

Denumirile C și W provin din cuvintele englezești closure-finiteness și weak topology . [1] [2]

Dimensiunea unui complex celular este definită ca limita superioară a dimensiunilor celulelor sale. A n- a coloană vertebrală a unui complex celular este uniunea tuturor celulelor sale a căror dimensiune nu depășește n , notația standard pentru a n- a coloană vertebrală a unui complex celular X este X n sau sk n X . Un subset al unui complex celular se numește subcomplex dacă este închis și este format din celule întregi; În special, orice schelet al unui complex este subcomplexul său.

Orice complex CW poate fi construit inductiv folosind următoarea procedură: [3]

începem cu o mulțime discretă , ale cărei puncte sunt considerate celule zero-dimensionale; $X^{0}$
prin inducție formăm arborele al n -lea care se întinde din cel ( n − 1)-al-lea prin lipirea celulelor n -dimensionale de acesta prin intermediul mapărilor continue arbitrare . $\varphi _{\alpha }:S^{{n-1}}\la X^{{n-1}}.$ $X^n$ $X^{{n-1}}$ $D_{\alpha }$ $x\sim \varphi _{\alpha }(x),$ $x\in \partial D_{\alpha }.$
Este posibil să se încheie procesul inductiv într-o etapă finală prin setare sau să-l continue pe termen nelimitat prin setarea [4] . Topologia limitei directe coincide cu topologia slabă: o submulțime este închisă dacă și numai dacă intersecția sa cu fiecare $X=X^{n},$ $X=\varinjlim X_{i}$ $\varinjlim X_{i}$ $X_{i}.$

Exemple

Spațiul este echivalent homotopic cu un complex CW (deoarece este contractibil ), dar este imposibil să se introducă structura unui complex CW pe el (deoarece toate complexele CW sunt contractibile local ). $\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$
Cercelul hawaian este un exemplu de spațiu topologic care nu este echivalent homotopic cu niciun complex CW.
Orice poliedru este dotat în mod natural cu structura unui complex CW, iar un graf este dotat cu un complex CW unidimensional.
O sferă n -dimensională admite o structură celulară cu o celulă zero-dimensională și o celulă n - dimensională (deoarece o sferă n -dimensională este homeomorfă la spațiul coeficient al unei bile n -dimensionale de-a lungul limitei sale). O altă partiție celulară exploatează faptul că încorporarea „ecuatorului” împarte sfera în două celule n - dimensionale (emisfera superioară și inferioară). Prin inducție, aceasta permite obținerea unei partiții celulare a unei sfere n - dimensionale cu două celule în fiecare dimensiune de la 0 la n , iar aplicarea construcției limită directă permite obținerea unei partiții celulare a unei sfere . $S^{{n-1}}\la S^{n}$ $S^{\infty }$
Spațiul proiectiv real admite o structură celulară cu o celulă în fiecare dimensiune și cu o celulă în fiecare dimensiune pară. ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
Grassmannianul permite o partiție în celule numite celule Schubert .
Pentru orice varietate compactă netedă , se poate construi un complex CW homotopic echivalent cu acesta (de exemplu, folosind funcția Morse ).

Omologie celulară

Omologiile singulare ale complexului CW pot fi calculate folosind omologiile celulare , adică omologiile complexului de lanț celular

\cdots \la {H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\la {H_{{n}}}(X^{{n} },X^{{n-1}})\la {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\la \cdots ,

unde este definit ca mulțime goală. $X^{{-1}}$

Grupul este un grup abelian liber ai cărui generatori pot fi identificați cu celulele n -dimensionale orientate ale complexului CW. Mapările limitelor sunt construite după cum urmează. Fie o celulă arbitrară n - dimensională , restricția hărții sale caracteristice la graniță și fie o celulă arbitrară ( n - 1) dimensională. Luați în considerare compoziția ${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$ $e_{{n}}^{{\alpha }}$ $X,$ $\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\partial e_{{n}}^({\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n- unu}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{{n} }^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^({\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\ stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }} \right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1)),

unde prima mapare se identifică cu maparea - factorizare, iar ultima mapare se identifică cu utilizarea maparii caracteristice a celulei . Apoi harta limitelor $S^{{n-1}}$ $\partial e_{n}^{\alpha },$ $q$ $X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\right)$ $S^{{n-1}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\la {H_{{n-1}}}(X_{{n- 1}},X_{{n-2}})

dat de formula

{d_{{n}}}(e_{{n}}^({\alpha }})=\sum _{{\beta }}\deg \left(\chi _{{n}}^{{\ alfa \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},

unde este gradul de mapare și suma este preluată peste toate celulele ( n − 1)-dimensionale . $\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\right)$ $\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}$ $X$

În special, dacă nu există două celule în complexul celular ale căror dimensiuni diferă cu una, atunci toate mapările limită dispar și grupurile de omologie sunt libere. De exemplu, pentru par și zero pentru impar. ${H_{{n))}({\mathbb {CP}}^{n},{\mathbb Z})={\mathbb Z}$ $n$

Proprietăți

Categoria de homotopie a complexelor CW, conform unor experți, este cea mai bună opțiune pentru construirea unei teorii a homotopiei. [5] Una dintre proprietățile „bune” ale complexelor CW este teorema lui Whitehead ( o echivalență de homotopie slabă între complexele CW este o echivalență de homotopie). Pentru orice spațiu topologic, există un complex CW echivalent homotopic slab. [6] Un alt rezultat util este că functorii reprezentabili din categoria de homotopie a complexelor CW au o caracterizare simplă în termeni categoriali ( teorema de reprezentabilitate a lui Brown ). Un cilindru, un con și o suprastructură peste un complex CW au o structură celulară naturală.

Pe de altă parte, un produs al complexelor CW cu o acoperire naturală în celule nu este întotdeauna un complex CW - topologia produsului poate să nu coincidă cu topologia slabă dacă ambele complexe nu sunt compacte local. Totuși, topologia unui produs din categoria spațiilor generate compact coincide cu topologia slabă și definește întotdeauna un complex CW [7] . Spațiul funcțiilor Hom ( X , Y ) cu topologia compact-deschisă nu este, în general vorbind, un complex CW, totuși, conform teoremei lui John Milnor [8] , este echivalent homotopie cu un complex CW în condiția că X este compact .

O acoperire a unui complex CW X poate fi dotată cu structura unui complex CW în așa fel încât celulele sale să fie mapate homeomorf pe celulele lui X.

Complexele CW finite (complexe cu un număr finit de celule) sunt compacte. Orice submulțime compactă a unui complex CW este conținută într-un subcomplex finit.

Note

↑ Whitehead, 1949 , p. 214.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 35.
↑ Hatcher, 2011 , p. paisprezece.
↑ Vezi limita directă a articolului .
↑ De exemplu, vezi D. O. Baladze . Partiția celulară - articol din Enciclopedia Matematică.
↑ Hatcher, 2011 , p. 445-446.
↑ Martin Arkowitz. Introducere în teoria homotopiei . - Springer, 2011. - P. 302 . — ISBN 9781441973290 .
↑ Milnor, John. Pe spații care au tipul de homotopie a unui complex CW // Trans. amer. Matematică. Soc.. - 1959. - T. 90 . — S. 272–280 .

Literatură

JHC Whitehead. homotopie combinatorie. I. // Bull. amer. Matematică. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—P. 213–245.
JHC Whitehead. homotopie combinatorie. II. // Taur. amer. Matematică. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—P. 453–496.
Hatcher, A. Topologie algebrică / Per. din engleza. V. V. Prasolova, ed. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 p. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Curs de topologie homotopie. - M. : Nauka, 1989. - 528 p.