Cartografierea Lipschitz

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 10 ianuarie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Maparea Lipschitz ( Lipschitz mapping [1] , de asemenea -Lipschitz mapping ) este o mapare care mărește de cel mult distanța dintre imaginile punctelor , unde se numește constanta Lipschitz a funcției date. Numit după Rudolf Lipschitz . $L$ $L$ $L$

Definiție

O mapare dintr -un spațiu metric la un spațiu metric se numește Lipschitz dacă există o astfel de constantă ( constanta Lipschitz a acestei mapări) încât pentru orice . Această condiție se numește condiția Lipschitz . O hartă cu o hartă (1-Lipschitz) se mai numește și o hartă scurtă . $f$ $(X,\;\rho _{X})$ $(Y,\;\rho _{Y})$ $L$ $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ $x,\;y\în X$ $L=1$

Se spune că o mapare Lipschitz este bi- Lipschitz dacă are o inversă care este și Lipschitz. $f\coloan X\la Y$ $f^{{-1}}\colon Y\la X$

O mapare se numește colipschitz dacă există o constantă astfel încât pentru orice și există astfel încât . $f\coloan X\la Y$ $L$ $x\în X$ $y\în Y$ $x'\în f^{{-1}}(y)$ $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$

Istorie

Mapări cu proprietate:

|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|xy|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1

a fost considerat pentru prima dată de Lipschitz în 1864 pentru funcțiile reale ca o condiție suficientă pentru convergența seriei Fourier la funcția sa. Ulterior, a devenit obișnuit să se numească această condiție condiția Lipschitz numai pentru , și pentru - condiția Hölder . $\alpha=1$ $\alpha<1$

Proprietăți

Orice mapare Lipschitz este uniform continuă .

Suprapunerea unui Lipschitz și a unei funcții integrabile este integrabilă.

( Lema Lipschitz ) O funcție diferențiabilă continuu pe o submulțime compactă a spațiului euclidian satisface condiția Lipschitz. Afirmația inversă nu este adevărată.

Teorema lui Rademacher afirmă că orice funcție Lipschitz definită pe o mulțime deschisă în spațiul euclidian este diferențiabilă aproape peste tot pe ea.

Teorema de extensie a lui Kirschbrown afirmă că orice mapare -Lipschitz dintr-un subset al unui spațiu euclidian la un alt spațiu euclidian poate fi extinsă la o mapare -Lipschitz la întreg spațiul. $L$ $L$

Variații și generalizări

Noțiunea de funcție Lipschitz este generalizată în mod natural la funcții cu un modul de continuitate mărginit , deoarece condiția Lipschitz este echivalentă cu condiția . $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$
exponent Holder

Note

↑ Federer G. Teoria măsurii geometrice. - 1987. - 760 p.