Constanta Landau-Ramanujan

În matematică , constanta Landau-Ramanujan este un rezultat al teoriei numerelor despre densitatea sumelor a două pătrate de numere întregi pe dreapta numerelor. Această teoremă a fost demonstrată independent de Edmund Landau și Srinivasa Ramanujan .

Teorema densității pentru sumele a două pătrate

Dacă este numărul de numere întregi de pe segment care sunt suma a două numere întregi pătrate, atunci $N(x)$ $[1,\;x]$

N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x))}}(1+o(1)),

unde este constanta de proporționalitate Landau-Ramanujan : $C$

C=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\aprox 0{,}764\;223\ ;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.

Precizia aproximării unui număr întreg prin suma a două pătrate

Din teorema Landau-Ramanujan rezultă că odată cu creșterea erorii medii de aproximare a unui număr întreg din intervalul de la 1 la suma a două pătrate de numere întregi nu este mai mică de . Estimarea trivială a erorii unei astfel de aproximări superioare cunoscută astăzi (2013) este mult mai mare — . De pe vremea lui Euler, a existat o presupunere [1] că $X$ $X$ ${\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))$ $O(x^{1/4})$

\min _{u,\;w\in \mathbb {Z} }|xu^{2}-w^{2}|\leqslant x^{\varepsilon },

unde este vreunul, . $\varepsilon>0,\;\varepsilon$ $x\geqslant x_{1}(\varepsilon )$

Această problemă este o generalizare a problemei lui Waring .

Criterii pentru posibilitatea unei reprezentări exacte

Un număr poate fi reprezentat sub forma ( și sunt numere întregi) dacă și numai dacă toate numerele prime ale formei sunt incluse în descompunerea canonică a unui număr cu grad par. [2] $A$ $s^{2}+t^{2}=a$ $s$ $t$ $4k+3$

Acest rezultat a fost obținut pentru prima dată de Fermat și dovedit de Euler .

Note

↑ Modern. prob. Mat., 2008, numărul 11
↑ K. Chandrasekharan. O introducere în teoria analitică a numerelor . - Lumea, 1968.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Landau–Ramanujan Constant (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
secvența A064533 în OEIS