Număr de contact (uneori numărul lui Newton [1] [2] , în chimie corespunde numărului de coordonare [2] ) - numărul maxim de bile cu raza unitară care pot atinge simultan una din aceeași minge în spațiul euclidian n - dimensional (este se presupune că bilele nu pătrund unele în altele, adică volumul de intersecție a oricăror două bile este egal cu zero).
Este necesar să se distingă numărul de contact de numărul de contact de pe zăbrele [3] - un parametru similar pentru cel mai dens ambalaj regulat de bile . Calculul numărului de contact în cazul general este încă o problemă matematică nerezolvată .
În cazul unidimensional, nu mai mult de două segmente de unitate de lungime pot atinge același segment:
În cazul bidimensional, problema poate fi interpretată ca găsirea numărului maxim de monede care ating cea centrală. Figura arată că puteți plasa până la 6 monede:
Aceasta înseamnă că . Pe de altă parte, fiecare cerc tangent taie un arc de 60° pe cercul central, iar aceste arce nu se intersectează, deci . Se poate observa că în acest caz estimările de sus și de jos coincid și .
În cazul tridimensional, vorbim de mingi. De asemenea, aici este ușor să construiți un exemplu cu 12 bile care ating cea centrală - sunt situate la vârfurile icosaedrului - prin urmare . Această limită inferioară era deja cunoscută de Newton .
Acest aranjament este liber, vor exista goluri destul de vizibile între bile. Estimarea de sus a devenit cauza cunoscutei dispute dintre Newton și D. Gregory în 1694. Newton a susținut că , iar Gregory a obiectat că ar putea fi posibil să se aranjeze 13 bile. El a efectuat calcule și a constatat că aria mingii centrale este de peste 14 ori aria de proiecție a fiecăreia dintre mingile care se atinge, deci . Dacă permiteți modificarea razelor bilelor cu 2%, atunci este posibil să vă înclinați până la 14 bile.
Abia în 1953, într-un articol al lui Schütte și van der Waerden [4] , s-a stabilit în cele din urmă că Newton avea dreptate, în ciuda lipsei unei dovezi riguroase.
În cazul cu patru dimensiuni, este destul de dificil să ne imaginăm mingi. Amplasarea a 24 de sfere cu patru dimensiuni în jurul celei centrale este cunoscută de mult timp , este la fel de regulat ca in cazul bidimensional si rezolva simultan problema numarului de contact de pe retea. Aceasta este aceeași plasare ca și cuaternionii de unități întregi .
Acest aranjament a fost declarat în mod explicit în 1900 de către Gosset [5] . Chiar mai devreme, a fost găsită (într-o problemă echivalentă) în 1872 de către matematicienii ruși Korkin și Zolotarev [6] [7] . Această locație a oferit o evaluare de mai jos .
Încercările de a estima acest număr de sus au condus la dezvoltarea unor metode subtile de teorie a funcțiilor, dar nu au dat un rezultat exact. În primul rând, am reușit să demonstrăm că , apoi am reușit să reducem limita superioară la . În cele din urmă, în 2003, matematicianul rus Oleg Musin a reușit să demonstreze că [8] .
În dimensiunile 8 și 24 s-a obținut o estimare exactă în anii 1970 [9] [10] . Dovada se bazează pe egalitatea numărului de contact și a numărului de contact de pe rețea în aceste dimensiuni: rețeaua E8 (pentru dimensiunea 8) și rețeaua Leach (pentru dimensiunea 24).
În prezent, valorile exacte ale numerelor de contact sunt cunoscute doar pentru , dar și pentru și . Pentru alte valori, limitele superioare și inferioare sunt cunoscute.
Dimensiune | Concluzie | Limită superioară |
---|---|---|
unu | 2 | |
2 | 6 | |
3 | 12 | |
patru | 24 [8] | |
5 | 40 | 44 [11] |
6 | 72 | 78 [11] |
7 | 126 | 134 [11] |
opt | 240 | |
9 | 306 | 364 [11] |
zece | 500 | 554 |
unsprezece | 582 | 870 |
12 | 840 | 1 357 |
13 | 1154 [12] | 2069 |
paisprezece | 1606 [12] | 3 183 |
cincisprezece | 2564 | 4 866 |
16 | 4 320 | 7 355 |
17 | 5 346 | 11 072 |
optsprezece | 7 398 | 16 572 [11] |
19 | 10 688 | 24 812 [11] |
douăzeci | 17 400 | 36 764 [11] |
21 | 27 720 | 54 584 [11] |
22 | 49 896 | 82 340 |
23 | 93 150 | 124 416 |
24 | 196 560 |
Problema are aplicație practică în teoria codificării. În 1948, Claude Shannon a publicat o lucrare de teoria informației care arată posibilitatea transmiterii de date fără erori în canale de comunicație zgomotoase folosind coordonatele de împachetare ale sferelor unitare în spațiul n-dimensional. Vezi și distanța Hamming .