Continuant

Un continuant este un polinom definit în mai multe variabile asociate cu fracții continue .

Definiții

Recursiv

Continuanta indicelui n este un polinom definit de relația de recurență : $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$

K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,

K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\; \ldots,\;x_{n-2}).

Prin determinant

Continuanta poate fi definită și ca determinantul unei matrice tridiagonale

K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\ \-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end {pmatrix}}.

Proprietăți

Continuantul este suma tuturor monomiilor obținute dintr-un monom prin ștergerea tuturor perechilor posibile de variabile învecinate care nu se intersectează ( regula lui Euler ). $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$ $x_1\cdot\ldots\cdot x_n$
- Exemplu: $K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.$
- Consecinţă: Continuantele au simetrie în oglindă: $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).$
$K_n(1,\;\ldots,\;1) = F_{n+1}$ este numărul Fibonacci .
Identitatea corectă este: $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}( x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}$
În domeniul fracțiilor raționale $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\; x_n] = x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}$ - lovitură de lanț .
Relația corectă a matricei este: $\begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1} (x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 și 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n și 1 \\ 1 și 0 \end{pmatrix}$ .
- De unde provine identitatea determinanților: $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\; \ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.$
- Precum și: $K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\; \ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.$

Link -uri

Siziy SV Prelegeri despre teoria numerelor . — Manual pentru specialitățile matematice. - Ekaterinburg: Universitatea de Stat Ural numită după. A. M. Gorki, 1999.
Prasolov VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare . — M .: Nauka, 1996. — ISBN 5-02-014727-3 .