Spațiu tangent

Spațiul tangent la o varietate netedă într-un punct este o colecție de vectori tangenți cu structura naturală a spațiului vectorial introdusă pe acesta . Spațiul tangent la un punct este de obicei notat sau - când este evident despre ce fel de varietate vorbim - pur și simplu . $M$ $X$ $M$ $X$ $T_{x}M$ $T_{x}$

Colecția de spații tangente în toate punctele varietatii (împreună cu varietatea în sine) formează un mănunchi vectorial , care se numește un fascicul tangent . În consecință, fiecare spațiu tangent este o fibră a mănunchiului tangent.

Spațiul tangent într-un punct la o subvarietate $p$ este definit în mod similar.

În cel mai simplu caz, atunci când o varietate netedă este încorporată fără probleme într-un spațiu vectorial (ceea ce este întotdeauna posibil, prin teorema de încorporare a lui Whitney ), fiecare spațiu tangent poate fi identificat în mod natural cu un subspațiu afin al spațiului vectorial ambiental.

Definiții

Există două definiții standard ale spațiului tangent: prin clasa de echivalență a curbelor netede și prin diferențiere într-un punct. Primul este intuitiv mai simplu, dar există o serie de dificultăți tehnice pe parcurs. Al doilea este cel mai simplu, deși nivelul de abstractizare este mai ridicat în ea. A doua definiție este, de asemenea, mai ușor de aplicat în practică.

Ca o clasă de echivalență a curbelor netede

Să fie o varietate netedă și . Luați în considerare o clasă de curbe netede astfel încât . Să introducem o relație de echivalență: dacă $M$ $p\în M$ $\Gamma _{p}$ $\gamma \colon {\mathbb I}\la M$ $\gamma (0)=p$ $\Gamma _{p}$ $\gamma _{1}\sim \gamma _{2}$

|\gamma _{1}(t)-\gamma _{2}(t)|=o(t),t\la 0

în unele (și prin urmare în orice) hărți care conțin . $p$

Elementele spațiului tangent sunt definite ca -clase de echivalență ; acesta este $T_{p}$ $\sim$ $\Gamma _{p}$

T_{p}=\Gamma _{p}/\sim

Într-o hartă care corespunde originii, curbele de la pot fi adăugate și înmulțite cu un număr, după cum urmează $p$ $\Gamma _{p}$

(\gamma _{1}+\gamma _{2})(t)=\gamma _{1}(t)+\gamma _{2}(t)

(k\cdot \gamma )(t)=\gamma (k\cdot t)

Rezultatul rămâne în . $\Gamma _{p}$

Aceste operațiuni continuă până la clasele de echivalență . Mai mult, operațiunile induse asupra operațiilor nu mai depind de alegerea hărții. Astfel este definită structura unui spațiu vectorial. $T_{p}=\Gamma _{p}/\sim$ $T_{p}$ $T_{p}$

Prin diferențiere la un punct

Să fie o varietate netedă. Atunci spațiul tangent la o varietate într-un punct este spațiul derivațiilor din acest punct, adică spațiul operatorilor care atribuie un număr fiecărei funcții netede și îndeplinesc următoarele două condiții: $M$ $C^\infty$ $M$ $p\în M$ $X,$ $f:M\la \mathbb{R}$ $Xf,$

$\mathbb {R}$ -liniaritate: $X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\;\lambda,\mu \in \mathbb {R},f,h\in C^{\infty}(M)$
regula lui Leibniz : $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh),\;f,h\in C^{\infty}(M).$

Pe mulțimea tuturor derivațiilor la un punct , apare structura naturală a unui spațiu liniar: $p$

$(X+Y)f=Xf+Yf;$ $(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Note

În cazul varietăților -smooth, ar trebui adăugată o altă proprietate la definiție prin diferențiere $C^k$ $xf=0$ dacă $f(q)=o(|pq|)$

în unele (și prin urmare în orice) hărți care conțin .

p

În caz contrar, această definiție va da un spațiu infinit-dimensional, inclusiv spațiul tangent. Acest spațiu este uneori numit spațiu tangent algebric . Vezi mai jos.

Lasă . Atunci regula Leibniz și condiția de liniaritate a operatorului sunt îndeplinite pentru . Acest lucru face posibilă identificarea spațiilor tangente obținute în prima și a doua definiție. $\gamma \in \Gamma _{p}$ $Xf=(f\circ \gamma )'(0)$

Proprietăți

Spațiul tangent al unei varietăți netede -dimensionale este un spațiu vectorial -dimensional $n$ $n$
Pentru o hartă locală selectată , operatori de diferențiere în ceea ce privește : $x_{1},\dots ,x_{n}$ $X_{i}$ $x_{i}$ $X_{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)$

reprezintă o bază , numită bază holonomică .

T_{p}

Definiții înrudite

Un element de contact cu o varietate la un moment dat este orice hiperplan al spațiului tangent în acel punct.

Variații și generalizări

Spațiu tangent algebric

Spațiul tangent algebric apare atunci când, în definiția vectorului tangent, renunțăm la cerința suplimentară exprimată în observația de mai sus (care, însă, contează doar pentru -varietăți diferențiabile, ). Definiția sa se generalizează la orice spațiu local inel (în special, la orice varietate algebrică ). $C^k$ $k<\infty$

Fie o varietate -diferențiabilă și un inel de funcții diferențiabile de la . Luați în considerare inelul germenilor funcționali într-un punct și proiecția canonică . Se notează prin nucleul homomorfismului inelului . Să introducem structura unei algebre reale cu ajutorul unui homomorfism injectiv și să identificăm în continuare și . Egalitatea [1] este valabilă . Se notează prin subalgebra formată din toți germenii ai căror reprezentanți au diferențe zero într-un punct din fiecare diagramă ; denota . Rețineți că . $M$ $C^k$ $C^{k}(M)$ $M$ $\mathbb {R}$ $C_{x}^{k}$ $x \în M$ $[-]_{x}:C^{k}(M)\la C_{x}^{k}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $[f]_{x}\mapsto f(x)$ $C_{x}^{k}$ $i:{\mathbb {R}}\la C_{x}^{k}$ $i(a)=[{\mathrm {const}}_{a}]_{x}$ $\mathbb {R}$ $i({\mathbb {R}})$ $C_{x}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ $C_{{x,0}}^{k}$ $C_{x}^{k}$ $X$ $C_{{x,d}}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $C_{{x,d}}^{k}\subset C_{{x,0}}^{k}$

Luați în considerare două spații vectoriale:

$T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{{x,0}}^{k})^{*}$ — acest spațiu are dimensiune și coincide cu spațiul tangent definit anterior la punctul , $\operatorname {dim}M$ $M$ $X$
$(C_{x}^{k}/C_{{x,d}}^{k})^{*}\cong ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_ {x}^{2})^{*}$ — acest spațiu este izomorf față de spațiul de derivații cu valori la , se numește spațiu tangent algebric [2] în punctul . $C_{x}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathbb {R}}\subset C_{x}^{k}$ $M$ $X$

Dacă , atunci are dimensiunea continuului , și conține ca subspațiu netrivial; în cazul în care sau aceste spații coincid (și ) [3] . În ambele cazuri, poate fi identificat cu (sub)spațiul de derivații cu valori în ; pentru un vector, formula definește un homomorfism injectiv în spațiul de derivații cu valori în (structura algebrei reale pe este dat în mod similar ). În acest caz , se obține exact definiția dată mai sus. $k<\infty$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}$ $T_{x}M$ $k=\infty$ $k=\omega$ $C_{{x,0}}^{k}=C_{{x,d}}^{k}$ $T_{x}M$ $C_{x}^{k}$ $\mathbb {R}$ $X\în T_{x}M$ $X(f)=X([f]_{x})$ $T_{x}M$ $C^{k}(M)$ $\mathbb {R}$ $C^{k}(M)$ $C_{x}^{k}$ $k=\infty$

Vezi și

Note

↑ J.-P. Serre , Lie Algebras and Lie Groups, Moscova: Mir, 1969.
↑ Laird E. Taylor , The Tangent Space to a Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, nr. 4 iulie 1973. $C^k$
↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham , Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. co., 1983.