O configurație Desargues este o configurație de zece puncte și zece linii, în care fiecare linie conține trei puncte ale configurației și trei linii trec prin orice punct. Configurația poartă numele lui Gerard Desargues și este strâns legată de teorema lui Desargues , care demonstrează existența unor astfel de configurații.
Se spune că două triunghiuri ABC și abc sunt în perspectivă centrală dacă liniile Aa , Bb și Cc se intersectează într-un punct (așa-numitul centru de perspectivă). Sunt în perspectivă axială dacă punctele de intersecție ale dreptelor care trec prin laturile corespunzătoare ale triunghiurilor X = AB • ab , Y = AC • ac și Z = BC • bc se află pe aceeași dreaptă, pe axa perspectivei. Teorema lui Desargues afirmă că aceste două condiții sunt echivalente - dacă două triunghiuri sunt în perspectivă centrală, atunci ele trebuie să fie în perspectivă axială și invers. În acest caz, cele zece puncte și zece linii ale acestor două perspective (cele șase vârfuri ale triunghiurilor, cele trei puncte de intersecție pe axa perspectivei și centrul perspectivei, cele șase laturi ale triunghiurilor, cele trei linii prin centrul perspectivei și axa perspectivei) formează împreună configurația Desargues.
Deși configurația poate fi încorporată într-un plan, are o construcție foarte simplă în spațiul tridimensional - orice cinci plane care se află în poziție generală în spațiul euclidian au zece puncte de intersecție a trei plane și zece linii de intersecție a două plane și formează o configurație Desargues [1] . Această construcție este strâns legată de proprietatea că orice plan proiectiv care poate fi încorporat într-un spațiu proiectiv se supune teoremei lui Desargues. O astfel de reprezentare tridimensională a configurației Desargues se mai numește și pentaedru complet [1] .
Un pentaedru sau un pentaedru cu cinci celule (un simplex regulat în spațiu cu patru dimensiuni) are cinci vârfuri, zece muchii, zece fețe triunghiulare bidimensionale și cinci fețe tetraedrice. Muchiile și fețele 2D se intersectează exact în același mod ca punctele cu linii în configurația Desargues. Să continuăm marginile celor cinci celule cu linii drepte și fiecare triunghi în plan. Luați în considerare intersecția acestor linii și planuri cu un hiperplan tridimensional care nu conține aceste linii și plane și, de asemenea, nu este paralel cu ele. Fiecare linie intersectează hiperplanul într-un punct și fiecare plan intersectează hiperplanul într-o linie dreaptă. Aceste zece puncte și linii formează configurația Desargues [1] .
Deși punctele și liniile joacă roluri diferite în teorema lui Desargues, configurația lui Desargues este mai simetrică - oricare dintre cele zece puncte poate fi ales ca centru de perspectivă, iar această alegere determină care șase puncte sunt vârfurile triunghiurilor și care linie este axa perspectivei. Configurația Desargues are un grup de simetrie de ordinul 120. Astfel, există 120 de moduri diferite de permutare a punctelor și liniilor într-o configurație care păstrează incidența unui punct și a unei linii. Reprezentarea tridimensională a configurației Desargues face aceste simetrii mai explicite - dacă configurația este obținută din cinci planuri în spațiul tridimensional într-o configurație comună, atunci fiecare dintre cele 120 de permutări diferite ale acestor cinci planuri corespunde simetriei în Configurația Desargues [1] .
Configurația Desargues este auto-duală, ceea ce înseamnă că se pot potrivi punctele primei configurații cu liniile din cealaltă configurație și liniile primei cu punctele celei de-a doua astfel încât toate incidențele să fie păstrate [2] ] .
Graficul Levi al unei configurații Desargues având un vârf pentru fiecare punct și un vârf pentru fiecare linie din configurație este cunoscut sub numele de graficul Desargues . Având în vedere simetriile și auto-dualitatea configurației Desargues, graful Desargues este un graf simetric .
Kempe a propus un alt grafic pentru această configurație, având zece vârfuri corespunzătoare dreptelor și muchii care leagă două vârfuri dacă punctul de intersecție a două drepte nu aparține configurației. Puteți interpreta acest grafic într-un alt mod - vârfurile graficului corespund punctelor configurației Desargues, iar muchiile în acest caz corespund liniilor dacă linia care trece prin aceste puncte nu aparține configurației. Această publicație este prima sursă cunoscută din literatura matematică care prezintă un grafic Petersen , cu 12 ani înainte ca Julius Petersen să folosească același grafic ca contraexemplu într-o problemă de colorare a marginilor .
Ca configurație proiectivă, configurația Desargues are notația (10 3 10 3 ), ceea ce înseamnă că fiecare dintre cele 10 puncte ale sale este incident la trei linii, iar fiecare dintre cele 10 linii este incident la trei puncte. Cele zece puncte ale sale pot fi considerate într-un mod unic ca două pentagoane înscrise reciproc sau ca un decagon înscris în sine [3] . Graficul Desargues , un grafic cubic simetric bipartit cu 20 de vârfuri , este numit cu acest nume deoarece poate fi reprezentat ca un grafic Levi al configurației Desargues, cu un vârf pentru fiecare punct și pentru fiecare linie și o muchie pentru fiecare punct. incident de linie.
Există alte opt configurații (10 3 10 3 ) (adică seturi de puncte și drepte în planul euclidian în care orice punct se află pe trei drepte și orice linie conține trei puncte) care nu sunt izomorfe în raport cu relația de incidență a configurația Desargues, iar una dintre aceste configurații este prezentată în figura din dreapta. În toate aceste configurații, pentru orice punct ales, există întotdeauna alte trei care nu se află pe aceeași linie cu acesta, iar aceste puncte nu se află pe aceeași linie. În configurația Desargues, aceste trei puncte se află întotdeauna pe aceeași linie dreaptă. Deci, dacă alegem centrul perspectivei, atunci aceste trei puncte se află pe axa perspectivei. În exemplul din dreapta, astfel de puncte formează un triunghi. Ca și în cazul configurației Desargues, alte configurații pot fi reprezentate ca o pereche de pentagoane înscrise reciproc.