Teorema Desargues

Teorema lui Desargues este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei proiective .

Formulări

Dacă două triunghiuri sunt situate pe plan în așa fel încât liniile care leagă vârfurile corespunzătoare ale triunghiurilor trec printr-un punct, atunci cele trei puncte în care se intersectează prelungirile celor trei perechi de laturi corespunzătoare ale triunghiurilor se află pe o singură dreaptă. linia.

Este adevărat și invers:

Dacă două triunghiuri sunt situate pe un plan în așa fel încât cele trei puncte în care se intersectează prelungirile celor trei perechi de laturi corespunzătoare ale triunghiurilor se află pe aceeași dreaptă, atunci liniile care leagă vârfurile corespunzătoare ale triunghiurilor trec prin un punct.

Note

Despre dovezi

Variații și generalizări

Poncelet și-a bazat teoria elegantă a figurilor omologice pe teorema lui Desargues . El a numit cele două triunghiuri la care se face referire în teorema lui Desargues omologice, punctul de intersecție al liniilor care leagă vârfurile în perechi - centrul omologiei și linia pe care laturile lor se intersectează în perechi - axa omologiei.

Poncelet a dat următoarea teoremă pentru geometria în spațiu, corespunzătoare teoremei lui Desargues în plan:

Dacă două tetraedre au vârfuri care se află în perechi pe patru drepte care converg într-un punct, atunci planurile fețelor opuse se intersectează de-a lungul a patru drepte care sunt în același plan.

Această teoremă poate fi generalizată și mai mult după cum urmează:

Când vârfurile a două tetraedre sunt așezate în perechi pe patru linii aparținând aceluiași grup de generatori ai unui hiperboloid cu o cavitate, atunci fețele lor se intersectează de-a lungul a patru linii care aparțin generatoarelor altui hiperboloid.

Configurație Desargues

Punctele și liniile din teorema lui Desargues formează așa-numita configurație Desargues . Aici, 3 linii trec prin fiecare dintre cele 10 puncte, iar 3 puncte se află pe fiecare dintre cele 10 linii. În plus, oricare dintre cele 10 puncte poate fi luat drept „vârful piramidei triedrice” („punctul Desargues”) în demonstrația de mai sus. Orice linie dreaptă poate fi luată ca o „linie dreaptă Desargues”. Fixarea unui punct Desarguesian sau a unei linii Desarguesian determină complet întreaga configurație.

Teorema lui Desargues și axiomatica geometriei proiective

Când se construiește geometria proiectivă a planului fără a intra în spațiul tridimensional, teorema lui Desargues nu este derivată din axiomele de bază ale planului proiectiv . Aceasta înseamnă că este posibil să se construiască un plan proiectiv unde teorema lui Desargues eșuează. De exemplu, planul Cayley  , un plan proiectiv peste o algebră Cayley , nu este desarguesian (vezi și geometria non-desarguesiană ).

La construirea unui plan proiectiv Desarguesian, afirmația teoremei lui Desargues este adăugată sistemului de axiome ale planului proiectiv ca o altă axiomă.

Istorie

Teorema lui Desargues a fost descoperită de geometrul francez Desargues : ea, împreună cu alte două, dintre care unul este inversul ei, a fost plasată la sfârșitul lucrării Traité de perspective , compilată de Boss după principiile și metoda lui Desargues și a apărut în 1636. În acest eseu, sa remarcat că această afirmație este evidentă atunci când triunghiurile sunt în două planuri diferite; luarea în considerare a cazului când se află în același plan oferă unul dintre primele exemple de utilizare a teoremei lui Menelaus în rândul noilor geometri. Teorema lui Desargues a câștigat faimă la începutul secolului al XIX-lea datorită utilizării sale în lucrările lui Brianchon și Poncelet .

Vezi și

Note

  1. ↑ Adică punctul în care trei drepte se intersectează, trecând prin perechi de vârfuri corespunzătoare.
  2. ↑ Adică linia pe care se intersectează liniile care conțin laturile corespunzătoare.

Link -uri