Distribuitor plat conform

O varietate conform plată este o varietate Riemanniană în care fiecare punct are o vecinătate care poate fi mapată conform unei regiuni a spațiului euclidian.

Mai formal, să fie M o varietate pseudo-riemanniană cu metrica g . Atunci M este plat conform dacă pentru fiecare punct există o vecinătate și o funcție netedă definite pe U astfel încât metrica pe este plată (adică curburele dispar pe ). $x\in M$ $U\ni x$ $\phi$ $e^{2\phi }\cdot g$ $U$ $e^{2\phi }\cdot g$ $U$

Funcția se numește factor conform, nu trebuie să fie definită pe întregul M. Unii autori folosesc termenul local conform flat pentru a descrie conceptul introdus mai sus și rețin termenul conformally flat pentru cazul în care funcția este definită pe întregul M. $\phi$ $\phi$

Exemple

Orice colector cu curbură în secțiune constantă este conform plat.
Orice varietate pseudo-riemanniană bidimensională este conform plată.
O varietate pseudo-riemanniană tridimensională este conform plată dacă și numai dacă tensorul Cotton dispare.
O varietate pseudo-riemanniană n -dimensională pentru n ≥ 4 este conform plată dacă și numai dacă tensorul Weyl dispare.

Proprietăți

Fiecare varietate riemanniană compactă , pur și simplu conectată , conform plată este echivalentă conform cu o sferă .

Variații și generalizări

Se spune că o varietate pseudo-riemanniană este conform plată dacă fiecare dintre punctele sale are o vecinătate care poate fi mapată conform unui domeniu al spațiului pseudo-euclidian .