Tensorul Weyl

Tensorul de curbură Weil este partea cu urme zero a tensorului de curbură Riemann . Cu alte cuvinte, este un tensor care satisface toate proprietățile de simetrie ale tensorului Riemann cu condiția suplimentară ca tensorul Ricci construit din acesta să fie egal cu zero.

Numit după Hermann Weyl .

Definiție

Tensorul Weyl poate fi obținut din tensorul de curbură scăzând anumite combinații ale tensorului Ricci și curbură scalară din acesta. Formula pentru tensorul Weyl se scrie cel mai ușor în termenii tensorului Riemann sub forma tensorului de valență (0,4):

W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\dreapta)\circ g-{\frac {s}{2n(n- 1)}}g\circ g

unde n este dimensiunea varietatii, g este metricul , R este tensorul Riemann, Ric este tensorul Ricci, s este curbura scalară și h O k este așa-numitul produs Kulkarni-Nomizu , produsul a două tensorii de valență simetrici (0,2) este tensorul de valență (0,4) care satisface simetriile tensorului de curbură:

$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3 })-$
	${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1}, v_{4}).$

În componente, tensorul Weyl este dat de:

W_{{abcd}}=R_{{abcd}}-{\frac {2}{n-2}}(g_{{a[c}}R_{{d]b}}-g_{{b[c }}R_{{d]a)))+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{{a[c}}g_{{d]b}}

unde este tensorul Riemann, este tensorul Ricci, este curbura scalară și [] denotă operația de antisimetrizare. $R_{abcd}$ $R_{{ab}}$ $R$

Proprietăți

Tensorul Weil poate avea o formă netrivială numai în spații cu cel puțin patru dimensiuni. În spațiile bidimensionale și tridimensionale, tensorii Weyl sunt identic egali cu zero.

Tensorul Weyl rămâne invariant sub transformările conforme ale metricii . Adică, dacă pentru o metrică dată g introducem o nouă metrică folosind o funcție , atunci tensorul Weyl de valență (1,3) nu se modifică: . Din acest motiv, tensorul Weyl este numit și tensor conform . Din această proprietate rezultă că ${\tilde {g}}_{{ij}}=\Omega g_{{ij}}$ $\Omega$ ${\tilde {W}}_{{abc}}{}^{d}={W_{{abc}}}^{d}$
- pentru ca o varietate să fie conform euclidiană , tensorul său Weyl trebuie să fie zero.
- Pentru dimensiuni ≥ 4 această condiție este de asemenea suficientă .
- Pentru spațiile de dimensiunea 3, o condiție necesară și suficientă pentru a fi conform euclidian este ca tensorul Cotton să dispară .

Tensorul Weyl

Definiție

Proprietăți

Vezi și