Hipersferă

Hipersfera (din altă greacă ὑπερ- „ super- ” + σφαῖρα „minge”) este un spațiu euclidian hipersuprafață dimensional , format din puncte echidistante de un punct dat, numit centru al sferei . $n$

la , hipersfera degenerează în două puncte echidistante de centru ; $n=1$
când este un cerc ; $n=2$
când o hipersferă este o sferă . $n=3$
când hipersfera este o 3-sfere . $n=4$
când hipersfera este o 4-sfere . $n=5$

…

când hipersfera este o 7-sferă . Sfera 7 este notabilă prin faptul că această dimensiune este prima în care există sfere exotice , adică varietati care sunt homeomorfe cu 7-sfera standard, dar nu difeomorfe. $n=8$

Distanța de la centrul hipersferei la suprafața sa se numește raza hipersferei . O hipersferă este o subvarietate -dimensională în spațiul -dimensional , toate normalele cu care se intersectează în centrul său. $(n-1)$ $n$

Ecuații

O hipersferă de rază centrată într-un punct este definită ca locul punctelor care îndeplinesc condiția: $R$ $a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}$

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2} =R^{2}

Coordonate hipersferice

După cum știți, coordonatele polare sunt descrise după cum urmează:

x=\rho \cdot \cos \alpha

y=\rho \cdot \sin \alpha

și coordonate sferice astfel:

x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta

y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta

z=\rho \cdot \sin \beta

O bilă n-dimensională poate fi parametrizată prin următorul set de coordonate hipersferice :

x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1)

x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1)

x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1)

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1)

unde si . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac { \pi }{2}}\right]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Jacobianul acestei transformări este

J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Într-o altă variantă,

x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1)

x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1)

x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1)

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{{n-1}}

unde si . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Jacobianul în această formă este

J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Suprafață și volum

Spațiul euclidian indimensional pentru o hipersferă de dimensiunea sa, aria suprafeței și volumul delimitat de aceasta ( volumul unei bile n-dimensionale ) pot fi calculate folosind formulele [1] [2] : $n$ $n$ $S_{{n-1}}$ $V_{n}$

S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}

V_{n}=C_{n}R^{n}

Unde

C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right))}

a este funcția gamma . Această expresie poate primi o altă formă: $\gamma (x)$

C_{{2k}}={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}

C_{{2k+1}}={\frac {2^{{k+1}}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Aici este factorialul dublu . $n!!$

pentru că

V_{n}/S_{n-1}=R/n

S_{n+1}/V_{n}=2\pi R

atunci volumele bilelor satisfac relaţia recurentă

V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}}

iar suprafeţele lor sunt legate ca

S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}

Următorul tabel arată că sfera și bila unitatea iau un volum extrem pentru și , respectiv. $S_{{6}}$ $V_{{5}}$

Arii și volume de hipersfere și hiperbile cu o rază unitară

Dimensiune	1 (lungime)	2 (zonă)	3 (volum)	patru	5	6	7	opt
singur sfera ( ) $S_{n}$	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$\pi ^{3}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}$
Zecimal record	6,2832	12,5664	19,7392	26,3189	31,0063	33,0734	32,4697	29,6866
Unitate minge ( ) $V_{n}$	$2$	$\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$
Zecimal record	2,0000	3,1416	4.1888	4,9348	5,2638	5,1677	4,7248	4,0587

Rândul „dimensiunea” tabelului conține dimensiunea suprafeței figurii geometrice, și nu dimensiunea spațiului în care se află. Pentru o minge -dimensională, dimensiunea „volumului” acesteia este de asemenea , iar dimensiunea „ariei” ei este . $n$ $n$ $n-1$

Trebuie remarcat faptul că raportul dintre volumul sferei -dimensionale și volumul -cubului circumscris în jurul acesteia scade rapid odată cu creșterea , mai rapid decât . $n$ $V_{n}=C_{n}R^{n}$ $n$ $2^{n}R^{n}$ $n$ $2^{-n)$

Topologia hipersferei

În această secțiune, prin sferă înțelegem o hipersferă n-dimensională, prin bilă înțelegem o hipersferă n-dimensională , adică , , . $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{{n+1}}$ $B_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{n}$

Sfera este homeomorfă la factorizarea mingii prin limita sa . $S_{n}$ $B_{{n}}$
Mingea este homeomorfă la factorizare . $B_{n}$ $B_{n}\simeq (S_{{n-1}}\times [0,1])/(S_{{n-1}}\times \{1\})$
Sfera este un spațiu celular . Cea mai simplă descompunere celulară constă din două celule, homeomorfe și . Se obține direct din construcția unei sfere ca spațiu factorial al unei bile închise. O partiție celulară poate fi, de asemenea, construită prin inducție, împărțindu -se de-a lungul ecuatorului în două celule n-dimensionale, homeomorfe și o sferă , care este granița lor comună. $B_{0}={\mathrm {pt}}$ $B_{n}$ $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{{n-1}}$

Note

↑ Vinogradov I. M. Enciclopedia matematică. — M .: Nauka, 1977, — v. 5, p. 287, articolul „Sferă” - formula pentru volumul unei sfere n-dimensionale
↑ L. A. Maksimov, A. V. Mikheenkov, I. Ya. Polishchuk. Prelegeri despre fizica statistica. Dolgoprudny, 2011. - p. 35, derivarea formulei pentru volumul unei sfere n-dimensionale prin integrala Euler-Poisson-Gauss

Vezi și

Link -uri

Hypersphere (proiect d'Amateur). Programe de modelare 4D Hypersphere și Meridian Aproximation Arhivat 19 ianuarie 2008 la Wayback Machine
Hypersphere Imagination Trainer: Rubik's Cube în 4 sau mai multe dimensiuni Arhivat 25 ianuarie 2018 la Wayback Machine

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica