Măsurați concentrația

Concentrarea măsurii este principiul conform căruia, sub anumite restricții destul de generale și nu prea împovărătoare, valoarea unei funcție a unui număr mare de variabile este aproape constantă [1] . De exemplu, majoritatea perechilor de puncte de pe o sferă unitară cu dimensiuni înalte se află la o distanță aproape una de alta. ${\tfrac {\pi }{2}}$

Principiul de concentrare a măsurii se bazează pe ideea lui Paul Levy . A fost explorat la începutul anilor 1970 de Vitaly Milman în lucrarea sa despre teoria locală a spațiilor Banach . Acest principiu a fost dezvoltat în continuare în lucrările lui Milman și Gromov , Moret, Pisier , Shekhtman, Talagran , Ledoux și alții.

Definiții de bază

Fie un spațiu metric cu măsură de probabilitate . Lăsa $(X,d,\mu)$ $\mu$

\alpha (\varepsilon)=\sup \left\{\,\mu (X\setminus A_{\varepsilon})\mid \mu (A)\geqslant 1/2\,\right\},

Unde

A_{\varepsilon}=\left\{\,x\mid d(x,A)<\varepsilon \,\right\)

este un -vecinat al multimii . $\varepsilon$ $A$

Caracteristica se numește profil de spațiu . $\alfa$ $X$

Informal vorbind, un spațiu va satisface principiul concentrației măsurii dacă profilul său scade rapid cu . $X$ $\alpha (\varepsilon )$ $\varepsilon$

Mai formal, o familie de spații metrice cu măsuri se numește familie Levy dacă pentru profilurile corespunzătoare se aplică următoarele : $(X_{n},d_{n},\mu _{n})$ $\alpha_{n}$

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon )\to 0\quad {\text {at)}\quad n\to \infty .

Dacă mai mult decât atât

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon )\leq C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2})

pentru unele constante , atunci secvența se numește o familie Levi normală . $c,C>0$ $(X_{n},d_{n},\mu _{n})$

Note

Următoarea definiție a profilului este echivalentă: $\alfa$ $\alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\,\mu (\{\,F\geq \mathop {M} +\varepsilon \,\})\,\right\},$

unde cea mai mică limită superioară peste toate funcțiile 1-Lipschitz și mediana determinată de următoarea pereche de inegalități

F\colon \,X\la \mathbb {R}

M

F

\mu \{\,F\geq M\,\}\geqslant 1/2,\quad \mu \{\,F\leq M\,\}\geqslant 1/2.

Concentrarea unei măsuri pe o sferă

Primul exemplu se întoarce la Paul Levy . Conform inegalității izoperimetrice sferice , dintre toate submulțimile unei sfere cu o măsură sferică dată , segmentul sferic $A$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\sigma _{n}(A)$

B(x_{0},R)_{\mathbb {S} ^{n))=\left\{\,x\in \mathbb {S} ^{n}\mid \mathrm {dist} (x,x_{0})\leqslant R\,\right\}

pentru orice are cel mai mic -cartier pentru orice fix . $R$ $\varepsilon$ $A_{\varepsilon }$ $\varepsilon >0$

Aplicând această observație pentru o măsură de probabilitate omogenă pe și o mulțime astfel încât , obținem următoarea inegalitate: $\sigma _{n}$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $A$ $\sigma _{n}(A)=1/2$

\sigma _{n}(A_{\varepsilon })\geqslant 1-C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2}),

unde sunt constantele universale. Prin urmare, secvența este o familie Lévy normală , iar principiul concentrației măsurilor este valabil pentru această secvență de spații. $C,c$ $X_{n}=\mathbb {S} ^{n}$

Aplicații

Să presupunem că denotă mulțimea tuturor poligoanelor convexe din pătratul unității cu vârfuri în rețea . Apoi, pentru mici, majoritatea poligoanelor din se află aproape de o mulțime convexă . ${\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ $\varepsilon$ $(\varepsilon \cdot \mathbb {Z} )^{2)$ $\varepsilon >0$ ${\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ $L$
- Mai precis, este descris de inegalitatea [2] $L$
${\sqrt {1-|x|}}+{\sqrt {1-|y|}}\geq 1.$
Lema de distorsiune mică
teorema lui Dvoretsky

Vezi și

Martingale Duba

Note

↑ Michel Talagrand, O nouă privire asupra independenței, Analele probabilității, 1996, vol. 24, nr.1, 1-34
↑ Barany, Imre. „Forma limită a poligoanelor retice convexe”. Discrete & Computational Geometry 13.1 (1995): 279-295.

Lectură suplimentară

Ledoux, Michel. Fenomenul de concentrare a măsurii (neopr.) . - Societatea Americană de Matematică, 2001. - ISBN 0-8218-2864-9 .
A. A. Giannopoulos, V. Milman, Concentration property on probability spaces , Advances in Mathematics 156 (2000), 77-106.