Locul rădăcinii

Locul rădăcină este o traiectorie în teoria controlului descrisă pe plan complex de polii funcției de transfer a unui sistem dinamic atunci când unul dintre parametrii acestuia se modifică. Parametrul care este de obicei modificat este câștigul sistemului. Locul rădăcinilor este utilizat pe scară largă în analiza și sinteza sistemelor SISO liniare .

Locul rădăcină este de obicei folosit în analiza stabilității sistemului .

Metoda locului rădăcină

Fie funcția de transfer a sistemului închis

W(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}

iar ordinea polinomului numărătorului este egală cu , ordinea polinomului numitorului este egală cu pentru sistemele realizabile fizic . $m$ $n\!,m\leq n$

Metoda locului rădăcină leagă caracteristicile dinamice ale sistemului de comportamentul zerourilor și polilor funcției sale de transfer, care se găsesc din zerourile și polii unui sistem în buclă deschisă atunci când se modifică un parametru (de obicei câștigul în buclă deschisă). . Un sistem închis este legat de un sistem deschis folosind următoarea relație:

W(s)={\frac {W_{\Pi }}{1+W_{p)))

Unde este funcția de transfer a sistemului direct, este funcția de transfer a sistemului deschis. Această formulă este valabilă doar pentru feedback negativ, altfel semnul de după unitate va fi negativ. Fie un punct un pol al unui sistem închis. Să desenăm vectori din toate zerourile sistemului în buclă deschisă până în acest punct (să notăm argumentele acestor vectori ) și toți polii (să notăm argumentele acestor vectori ). Atunci locul rădăcinii va fi locul punctelor care satisfac următoarea ecuație: $W_{\Pi }$ $W_{p}$ $s$ $W_{p}$ $\theta _{j}^{0)$ $W_{p}$ $\theta _{j}^{P)$

\sum _{j=1}^{n}\theta _{j}^{0}-\sum _{j=1}^{n}\theta _{j}^{P}=\ pm (2u+1)\pi ,u=0,1,2,\dots

Metoda locului rădăcină vă permite să selectați câștigul sistemului de control, să evaluați oscilația mișcării, să selectați locația zerourilor și a polilor legăturilor corective ale sistemului de control .

Proprietățile locului rădăcină

Luați în considerare proprietățile locului rădăcinii atunci când schimbați câștigul:

Ramurile locului rădăcinii sunt continue și simetrice față de axa reală a planului complex.
Numărul de ramuri ale locului rădăcinii este egal cu ordinea sistemului . $n$
Ramificațiile încep de la polii sistemului în buclă deschisă (deoarece la câștig zero, polii sistemelor în buclă deschisă și în buclă închisă coincid). Când cresc de la 0 la infinit, polii sistemului închis se deplasează de-a lungul ramurilor locului rădăcinii. $K$ $K$
Deoarece la , polii sistemului închis devin egali cu zerourile sistemului deschis, exact ramurile locului rădăcinii se termină la zerourile sistemului închis, iar ramurile rămase merg la infinit. $K=\infty$ $m$
Un sistem închis este stabil dacă polii săi se află în semiplanul stâng al planului rădăcină. În consecință, atunci când ramurile hodografului traversează axa imaginară de la stânga la dreapta, sistemul devine instabil din stabil. Câștigul corespunzător acestei tranziții se numește critic . Această proprietate este utilă în evaluarea stabilității unui sistem.

Vezi și

Link- uri externe

E. V. Nikulcev . Caseta de instrumente pentru sistemele de control