Criteriul Kruskal-Wallis

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 septembrie 2020; verificările necesită 3 modificări .

Testul Kruskal-Wallis este conceput pentru a testa egalitatea medianelor mai multor eșantioane . Acest test este o generalizare multivariată a testului Wilcoxon-Mann-Whitney . Criteriul Kruskal-Wallis este unul de rang , deci este invariant în raport cu orice transformare monotonă a scalei de măsurare .

De asemenea, cunoscut sub numele de: Kruskal-Wallis H-test, Kruskal -Wallis analiza unidirecțională a varianței , Kruskal - Wallis test . Numit după matematicienii americani William Kruskal și Allen Wallis .

Exemple de probleme

Cupa Mondială este în desfășurare. Primul eșantion este un sondaj al fanilor cu întrebarea „Care sunt șansele ca echipa ucraineană să câștige?” înainte de începerea campionatului. Al doilea eșantion este după primul joc, al treilea este după al doilea meci etc. Valorile din mostre sunt șansele Ucrainei de a câștiga pe o scară de zece puncte (1 — „fără perspective”, 10 — „a duce cupa în Ucraina este o chestiune de timp”). Este necesar să se verifice dacă rezultatele sondajelor depind de cursul campionatului.

Descrierea criteriilor

Se dau mostre : $k$

x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k} ^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}

Selecția combinată va arăta astfel:

x=x_{1}^{n_{1}}\cup x_{2}^{n_{2}}\cup \ldots \cup x_{k}^{n_{k)).

Estimări suplimentare:

toate probele sunt simple, proba grupată este independentă;
eşantioanele sunt extrase din distribuţii continue necunoscute . $F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)$

Ipoteza nulă este testată cu alternativa . $H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)$ $H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1} )$

Să sortăm toate elementele eșantioanelor în ordine crescătoare și să notăm rangul --lea element al --lea eșantion din seria variațională rezultată . $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i)$ $R_{ij}$ $j$ $i$

Statistica testului Kruskal-Wallis pentru testarea ipotezei unei deplasări a parametrilor de poziție a celor două eșantioane comparate are forma:

H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\({\frac {{\bar { R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}} }\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R} }_{i}-{\frac {N+1}{2}}\dreapta)^{2}=

={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}} }-3(N+1)

Unde

R_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}

;

{\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}

Ipoteza deplasării este respinsă la nivelul de semnificație dacă , unde este valoarea critică, la și calculată din tabele. Pentru valori mai mari, sunt aplicabile diverse aproximări. $\alfa$ $H\geqslant H_{\alpha }$ $H_{\alpha )$ $k\leqslant 5$ $n_{i}\leqslant 8$

Aproximația Kruskal-Wallis

Lăsa

M={\frac {N^{3}-\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{3}}}{N(N+1)))

;

\nu _{1}=(k-1){\frac {(k-1)(M-k+1)-V}{{\dfrac {1}{2}}MV}}

;

\nu _{2}={\frac {M-k+1}{k-1}}\nu _{1}

;

{\displaystyle V=2(k-1)-{\frac {2\left\{3k^{2}-6k+N(2k^{2}-6k+1)\right\}}{5N(N +1)))-{\frac {6}{5}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i))))

Apoi , în absența unei deplasări, statisticile vor avea o -distribuție cu și grade de libertate. Astfel, ipoteza nulă este respinsă la nivel de semnificație dacă . $F={\frac {H(M-k+1)}{(k-1)(MH)))$ $F$ $\nu _{1}$ $\nu _{2}$ $\alfa$ $F>F_{\alpha }(\nu _{1},\;\nu _{2})$

Aproximație Iman-Davenport

Potrivit acesteia, ipoteza deplasării nule este respinsă cu certitudine dacă , unde ; și sunt , respectiv, valorile critice ale statisticilor Fisher și chi-pătrat cu gradele de libertate corespunzătoare. $\alfa$ $J\geqslant J_{\alpha }$ $J={\frac {H}{2}}\left(1+{\frac {Nk}{N-1-H}}\right)$ $J_{\alpha }=\left\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;\;Nk)+\chi _{\alpha }^{2}(k-1)\ dreapta\}$ $F_{\alpha }(f_{1};\;f_{2})$ $\chi _{\alpha }^{2}(a)$

Aceasta este o aproximare mai bună decât aproximarea Kruskal-Wallis. În prezența rangurilor înrudite (adică atunci când valorile valorilor din diferite eșantioane coincid și li se atribuie aceleași ranguri medii), este necesar să se utilizeze statisticile modificate , unde ; este dimensiunea celui de-al treilea grup de elemente identice; este numărul de grupuri de elemente identice. La , este valabilă aproximarea distribuţiei statisticilor ; -distributie cu grade de libertate, adica se respinge ipoteza nula daca . $H^{*}=H\left\{1-\left(\sum _{j=1}^{q}{\frac {T_{j}}{N^{3}-N}} \right)\right\}^{-1}$ $T_{j}=t_{j}^{3}-t_{j}$ $t_{j}$ $j$ $q$ $n_{i}\geqslant 20$ $H$ $\chi ^{2}$ $f=k-1$ $H\geqslant \chi _{\alpha }^{2}(k-1)$

Vezi și

criteriul lui Cochran

Literatură

Kruskal WH, Wallis WA Utilizarea rangurilor în analiza varianței cu un singur criteriu. // Jurnalul Asociației Americane de Statistică . - 1952, 47 Nr. 260. - str. 583-621.
Likesh I., Lyaga J. Tabele de bază ale statisticii matematice. - M .: Finanțe și statistică, 1985.
Statistici matematice aplicate Kobzar AI . - M.: Fizmatlit , 2006. - 466-468 p.

Link -uri

criteriul Kruskal-Wallis