Lema lui Vitali pe coperți

Lema de acoperire a lui Vitali este un rezultat geometric combinatoriu . Folosit pe scară largă în teoria măsurării .

Această lemă este utilizată în demonstrarea teoremei de acoperire a lui Vitali , dar este și de interes în sine. Numit după matematicianul italian Giuseppe Vitali .

Formulare

Versiunea finală

Fie un set finit de bile conținute într-un spațiu euclidian d - dimensional R d (sau, mai general, într-un spațiu metric arbitrar ). Apoi, există un subset al acestor bile în care bilele sunt disjunse în perechi și $B_{1},\ldots, B_{n)$ $B_{j_{1)),B_{j_{2)),\dots ,B_{j_{m))$

B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_ {m}},

unde desemnează o minge cu același centru cu y, dar cu raza de trei ori mai mare. $3B_{j_{k)}$ $B_{j_{k)}$

Versiune fără sfârșit

Fie un set arbitrar (numărabil sau nenumărabil) de bile în R d (sau, mai general, într-un spațiu metric) astfel încât $\{B_{j}\mid j\in J\)$

\sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty,

unde denotă raza bilei B j . Atunci pentru oricare există un subset numărabil $\mathrm {rad} (B_{j})$ $k>3$

\{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,

bile disjunse în perechi astfel încât

\bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.

Note

În versiunea infinită, lema încetează să fie adevărată dacă razele nu sunt mărginite: de exemplu, acest lucru nu este adevărat pentru un set infinit de bile concentrice cu raze întregi pozitive.
În cel mai general caz, pentru un spațiu metric arbitrar, alegerea unei subcolecție disjunctă maximă de bile necesită o formă de lemă a lui Zorn .

Consecințele

În orice set finit de bile în spațiu euclidian -dimensional cu volum de unire , se poate alege un subset de bile care se intersectează cu un volum total de cel puțin . $n$ $V$ ${\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V$
- Coeficientul nu este optim și valoarea optimă nu este cunoscută. [unu] ${\tfrac {1}{3^{n}})$

Variații și generalizări

În loc de mingi, se pot lua și alte regiuni cu condiții destul de slabe. [2]
Lema lui Besikovici este un analog cu lema lui Vitali. Este aplicabilă pentru măsuri arbitrare, dar numai pentru spații metrice simple, inclusiv spațiu euclidian, în timp ce Lema lui Vitali este aplicabilă pe spații metrice arbitrare pentru măsurile cu proprietatea de dublare. Aceasta din urmă înseamnă că pentru o constantă reală și o minge arbitrară avem $\mu$ $C$ $B$ $\mu (2B)\leq C\cdot \mu (B)$

Note

↑ Constanta optimă în lema de acoperire Vitali
↑ Federer G. Teoria măsurii geometrice. - 1987. - 760 p.

Literatură

Vitali, Giuseppe (1908), Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino T. 43: 75–92 , < http://www.archive.org/stream/attidellarealeac43real#page /228/mode/2up > .
I. P. Natanson . Teoria funcțiilor unei variabile reale.