Lema lui Zorn

Lema Zorn (uneori lema Kuratowski-Zorn ) este una dintre afirmațiile echivalente cu axioma alegerii , alături de teorema Zermelo (principiul de bine ordonare) și principiul de maxim Hausdorff (care, de fapt, este o formulare alternativă ). a lemei Zorn).

Poartă numele matematicianului german Max Zorn , este adesea menționat și sub numele matematicianului polonez Kazimir Kuratowski , care a formulat o afirmație similară mai devreme .

Instrucțiune : Un set parțial ordonat în care orice lanț are o limită superioară conține un element maxim . Există o serie de formulări alternative echivalente ale .

Istorie

Afirmații similare și echivalente cu lema lui Zorn au fost propuse de matematicieni mult mai devreme decât Zorn. Deci, în 1904, Ernst Zermelo a demonstrat o teoremă conform căreia fiecare mulțime poate fi bine ordonată . Pentru a dovedi acest lucru, el a invocat „un principiu logic incontestabil”, pe care l-a numit axioma alegerii . Principiul maxim al lui Hausdorff , formulat și dovedit de el în 1914 , este o formulare alternativă și anterioară a lemei lui Zorn.

În 1922, Kuratovski a demonstrat lema într-o formulare apropiată de cea modernă (pentru o familie de mulțimi ordonate prin includere și închise sub uniunea de lanțuri bine ordonate). Practic, aceeași afirmație (într-o formulare mai slabă, nu pentru lanțuri complet ordonate, ci pentru cele arbitrare) a fost formulată independent de Zorn în 1935 în articolul „On a Method from Transfinite Algebra”. Zorn însuși l-a numit „ principiul maxim ”, a sugerat să îl includă în axiomele teoriei mulțimilor și să-l folosească pentru a demonstra diverse teoreme ale teoriei câmpurilor în locul principiului de bine ordonat al lui Zermelo.

Numele „lema lui Zorn” a fost introdus pentru prima dată de John Tukey în 1940 .

Formulări

Există mai multe formulări alternative ale lemei lui Zorn.

Formulare de bază:

Dacă într-o mulțime parțial ordonată pentru orice submulțime ordonată liniar există o limită superioară, atunci există un element maxim în. $M$ $M$

Merită să înțelegeți exact ce se înțelege prin această formulare. Condiția pentru existența unei limite superioare pentru fiecare submulțime ordonată liniar nu necesită ca această limită să se afle în mod necesar în această submulțime în sine. Este nevoie doar ca limita superioară să fie cuprinsă în întregul set . Elementul maxim aici este înțeles în sensul că nu este mai mic decât toate cele cu care este comparabil. Nu trebuie să fie mai mare sau egal cu niciun element. De exemplu, un element care este incomparabil cu orice alt element al setului va fi maxim. $M$ $M$

Formularea principală a lemei lui Zorn poate fi întărită.

Formulare îmbunătățită:

Dacă într-o mulțime parțial ordonată pentru orice submulțime ordonată liniar există o limită superioară, atunci pentru fiecare element există un element maxim al mulțimii mai mare sau egal cu elementul . $M$ $a\in M$ $M$ $A$

Formularea de bază afirmă existența unui element care, pentru fiecare element individual , este fie mai mare, fie egal cu acesta, fie incomparabil cu acesta. Formularea consolidată afirmă existența pentru fiecare dintre un astfel de element care este mai mare sau egal cu , și, în același timp, pentru toate celelalte elemente este fie mai mare sau egal cu, fie incomparabil. Adică, pentru fiecare element specific, puteți selecta maximul astfel încât să fie mai mare sau egal cu acesta. Acest element maxim poate fi diferit în funcție de elementul respectiv . $a\in M$ $A$ $a\in M$ $A$ $A$

În lucrarea originală din 1935, Zorn a formulat o declarație pentru seturile parțial ordonate prin includere.

Declarație pentru o familie de seturi:

Dacă o familie de mulțimi are proprietatea că uniunea oricărui lanț de mulțimi din este din nou o mulțime din această familie, atunci conține o mulțime maximă. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Această formulare decurge în mod evident din cea principală. În același timp, după cum se poate observa, chiar și pentru familiile de mulțimi, este mai slabă decât cea principală, deoarece necesită prezența în familie doar a uniunii de mulțimi, și nu a unui supraset arbitrar.

În ciuda faptului că unele dintre formulări sunt mai puternice și unele sunt mai slabe, toate cele 3 formulări ale lemei lui Zorn sunt echivalente în sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel . Dovada acestui lucru este în articolul Declarații echivalente cu Axioma alegerii .

Aplicații

În multe probleme, lema Zorn este cea mai convenabilă dintre toate formulările echivalente cu axioma de alegere; în special, este folosită în demonstrarea următoarelor teoreme:

teorema Hahn-Banach asupra extinderii unei funcționale liniare;
teoremă privind existența bazei Hamel într-un spațiu liniar arbitrar ;
teorema lui Tihonov ;
o teoremă asupra existenței unei închideri algebrice a unui câmp arbitrar ;
teoremă privind existența unui ideal maxim într-un inel cu unitate .

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — M .: Nauka, 1977. — 368 p.
Yosida K. Analiza functionala. - M . : Mir, 1967. - cap. IV, V, 616 p.
Kolmogorov AN, Fomin SV Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - Ed. a VII-a. - M. : Fizmatlit, 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Prelegeri despre algebră generală. - Ed. a II-a. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
Hausdorff F. Teoria mulţimilor. - a 4-a ed. - M. : URSS, 2007. - 304 p. - ISBN 978-5-382-00127-2 .