Lema lui Gauss despre geodezică

Lema geodezică a lui Gauss afirmă că orice sferă suficient de mică centrată într-un punct dintr-o varietate Riemanniană este perpendiculară pe fiecare geodezică printr-un punct.

Lema este folosită pentru a demonstra că geodezicele sunt cele mai scurte curbe la nivel local și este de o importanță fundamentală în studiul convexității geodezice și al coordonatelor normale .

Formulare

Să notăm spațiul tangent într-un punct al varietății Riemanniane și să fie harta exponențială . Rețineți că pentru orice vector , spațiul tangent la spațiul tangent poate fi identificat cu spațiul tangent însuși . $T_{p}$ $p$ $(M,g)$ $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ $x\in T_{p}$ $T_{x}T_{p}$ $T_{p}$

Pentru orice $x,v\in T_{p}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

unde denotă diferenţialul mapării exponenţiale. $d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\la T_{\exp _{p}x)$

Link -uri

Derivarea lemei Gauss folosind mecanica hamiltoniană pe YouTube