Metoda funcției lui Green

Metoda funcției lui Green - o metodă de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare , permite, prin găsirea funcției lui Green corespunzătoare operatorului acestei ecuații , să se obțină aproape direct o anumită soluție. Eficiența este determinată de posibilitatea de a scrie funcția lui Green într-o formă explicită.

Soluția prin funcția lui Green este utilizată în problemele cu valori la limită pentru ecuații de tip eliptic [1] .

În fizică , metoda își găsește aplicație în rezolvarea problemei răspunsului unui sistem fizic la o influență externă care îl dezechilibrează. În conformitate cu principiul cauzalității , starea sistemului este complet determinată de preistorie. Astfel, pentru a căuta starea sistemului la un moment dat, este necesară rezolvarea problemei evolutive și a ecuațiilor diferențiale care apar în acesta.

Dacă abaterea sistemului de la starea de echilibru este mică, atunci termenii neliniari ai expansiunii corespunzătoare sunt și ei mici, ceea ce înseamnă că reacția sistemului poate fi studiată în cadrul ecuațiilor liniare. Deoarece starea fundamentală a majorității sistemelor luate în considerare nu se modifică în timp, ecuațiile rezultate au coeficienți constanți.

Ecuație cu coeficienți constanți

Ecuație unidimensională de ordinul a n-a

Dacă pentru, în general, un operator diferenţial polinomial :

L=a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{ n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}+a_{0}

având în vedere ecuația:

Lx(t)=\phi (t)\qquad

atunci funcția lui Green a operatorului este determinată de soluția: $G$ $L$

LG(t,t')=\delta (tt')

unde este functia delta Dirac . Deoarece nu depind de timp, forma ecuației nu se modifică în timpul înlocuirii (se observă omogenitate în timp), prin urmare funcția lui Green depinde de un parametru: . $\delta$ $a_{i}$ $t\rightarrow tt'$ $G(t,t')\equiv G(tt')$

Conform proprietăților funcției delta, egalitatea este adevărată:

\int LG(tt')\phi (t')\,dt'=\int \delta (tt')\phi (t')\,dt'=\phi (t)

Apoi, atunci când se consideră că condițiile inițiale sunt uitate într-un timp infinit, se verifică prin substituție directă că soluția ecuației va fi: $t\in (-\infty ,\infty )$

x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }dt'\,G(tt')\phi (t')

Funcția lui Green determină astfel pentru momentul de timp influența impactului „impact” asupra sistemului care a trecut în momentul de timp . $t$ $t'$

Cu toate acestea, funcția lui Green poate fi aleasă ambiguu, până la soluția unei ecuații date omogene (cu partea dreaptă zero). Principiul cauzalităţii prevede că sistemul răspunde la impactul aplicat în trecut , dar nu şi în viitor . Adică la . $G(t,t')=0$ $t<t'$

Această constrângere este notată de funcția Heaviside și funcția lui Green este căutată sub forma: $\theta (t)$

G(t)=\theta (t)f(t)

unde este soluția ecuației omogene date și depinde de constante. $f(t)$ $n-1$

În cazul în care nu este degenerat, va arăta astfel: $L$ $f(t)$

f(t)=\sum _{i}b_{i}\exp(-z_{i}t)

Datorită proprietăților funcției delta și derivatelor sale, precum și a unei anumite simetrii a binomului Newton :

\int dt{\Big (}\theta (t)f(t){\Big )}^{(n)}=f^{(n-1)}(0)+\int dt\, \theta (t)f(t)

Aceasta duce la:

\int dt\,LG(t)=\int dt\,\delta (t)\;\Leftrightarrow \;\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}f ^{(k)}(0)=1

Deoarece termenii care satisfac ecuația omogenă dată se anulează, atunci:

{\frac {d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)))}f(0)=1/a_{n};\;{\frac {d^{ (k)}}{dt^{(k)}}}f(0)=0,\;k=0,1,\ldots ,n-2

În acest caz, este deja posibil să găsiți funcția lui Green în mod unic.

Dacă presupunem că pentru momentul în care a început evoluția sistemului au fost stabilite condițiile inițiale, atunci ecuația va fi rescrisă: $t=0$

Lx(t)=\phi (t)+\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)\delta ^{(n-1-k)} (t)

Apoi:

x(t)=\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)G^{(nk-1)}(t)+\int _{0 }^{t}dt'\,G(tt')\phi (t)

doar ultimul termen de aici este o decizie forțată cauzată de o influență externă.

Ecuație multidimensională de ordinul I

Mai jos considerăm o ecuație liniară pentru mărimea vectorială , unde este matricea care determină dinamica sistemului: ${\ simbol aldine {y}}$ ${\pălărie {\Gamma })$

{\dot {\boldsymbol {y}}}(t)+{\hat {\Gamma }}{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {\chi }}(t)

Ecuația considerată de ordinul al treilea pentru mărimea scalară se reduce la această formă . Pentru aceasta, trebuie să presupunem că: $n$ $X$

{\boldsymbol {y}}_{i}(t)=x^{(i-1)}(t)

pentru numerotarea componentelor începând cu unitate.

La fel ca în cazul precedent, soluția se scrie astfel:

{\boldsymbol {y}}(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,{\hat {G}}(tt'){\boldsymbol {\chi }}( t')

Funcția lui Green care satisface condiția:

\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right){\hat {G}}(t)={\hat {1}}\,\delta (t)

se caută, la rândul său, sub forma:

{\hat {G}}(t)=\theta (t)\exp(-{\hat {\Gamma }}t)

Se obișnuiește să se ia în considerare exponentul unei matrice atunci când se trece la propria bază a operatorului , unde este fie diagonală , fie conține celule Jordan (în cazul valorilor proprii degenerate ). ${\pălărie {\Gamma })$

Transformarea Laplace

Transformarea Laplace a ecuației de evoluție permite ca procedura de soluție să fie redusă la integrare în plan complex .

Se va scrie transformarea pentru pentru un operator polinom $LG(t)=\delta (t)$ $L$

{\mathcal {L}}\left\{LG(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{\delta (t)\right\}\;\Leftrightarrow \;L (s){\widetilde {G}}(s)=1\;\Rightarrow \;{\widetilde {G}}(s)={\frac {1}{L(s)))

Unde , și este polinomul corespunzător operatorului , care conține al n-lea grad al lui s în loc de a n-a derivată. ${\widetilde {G}}(s)={\mathcal {L}}\{G(t)\}$ $L(s)$ $L$

Dovada

Este suficient să luăm în considerare expresia derivatei a n-a a funcției G

\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)

Unde este un mic parametru esențial pentru funcția delta din partea dreaptă a ecuației luate în considerare $\varepsilon$

După luarea pe părți, ținând cont de faptul că termenii neintegrali de pe granițe sunt egali cu zero (pe cel inferior din cauza cauzalității), integrala se va scrie

\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=0+ p\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}G(t)

Repetarea procedurii de n ori duce la

\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=p^ {n}\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}G(t)=p^{n}{\mathcal {L}}\left\{G(t) \dreapta\}

■

Apoi, conform proprietății transformării Laplace pentru convoluție :

${\tilde {x}}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int dt\,G(tt')\phi (t)\right\}={\frac {{ \tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$

Unde sunt transformările Laplace pentru, respectiv. ${\tilde {x}}(s),\,{\tilde {\phi }}(s)$ $x(t),\,\phi (t)$

După transformarea inversă:

$x(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }ds\,e^{st}{\frac {{ \tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$

Integrala, în virtutea faptului că poate deplasa conturul spre stânga, în special, este considerată a fi o utilizare a teoremei reziduului . Astfel, transformata Laplace indică o cale directă spre găsirea unei soluții forțate. Cea descrisă este valabilă și pentru o ecuație multidimensională, cu observația că trebuie să utilizați o funcție matriceală .

Ecuație neomogenă în timp

Dacă sistemul nu este în echilibru, atunci starea lui se schimbă în timp, ceea ce este exprimat în dependența de timp a coeficienților. Aceasta înseamnă că funcția lui Green depinde de ambele variabile:

LG(t,t')=\delta (tt')

si solutie pentru:

G(tt')=\theta (tt')\exp(-\gamma t)

rescrie:

G(t,t')=\theta (tt')\exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,\gamma (\tau)\right]

La o constantă , ecuația capătă forma sa anterioară. $\gamma$

În cazul unei ecuații vectoriale:

{\dot {\boldsymbol {y}}}+{\hat {\Gamma }}(t){\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {\chi }}(t)

matricele în momente diferite, în general vorbind, nu fac naveta, deci soluția poate fi scrisă folosind exponentul ordonat cronologic : ${\pălărie {\Gamma })$

G(t,t')=\theta (tt')\,\mathrm {T} \exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,{\hat { \Gamma }}(\tau )\right]

Note

↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuațiile fizicii matematice, 2004 , §5.7.

Literatură

Kolokolov I.V., Lebedev V.V. Capitole alese de fizică matematică. Cu. 6-11, 13
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .