Inegalitatea liniară

O inegalitate liniară este o inegalitate care implică funcții liniare . O inegalitate liniară conține unul dintre simbolurile inegalității [1]

<- mai puțin
> - mai mult
$\leqslant$ - mai mic sau egal
$\geqslant$ - mai mare sau egal
$\neq$ - nu este egal

și de asemenea (formal)

= - este egal

O inegalitate liniară arată exact ca o ecuație liniară , dar în loc de un semn egal, se pune un semn de inegalitate.

Inegalități liniare ale numerelor reale

Inegalități liniare bidimensionale

Inegalitățile liniare bidimensionale sunt expresii de forma:

ax+by<c

și

ax+by\geqslant c,

unde inegalitățile pot fi sau nu stricte. Mulțimea soluțiilor unei astfel de inegalități poate fi reprezentată grafic ca un semiplan (toate punctele de pe „una dintre părți” unei linii fixe) al planului euclidian [2] . Linia care definește semiplanul ( ax + by = c ) nu este inclusă în soluție dacă inegalitatea este strictă. O procedură simplă pentru a determina care dintre semiplanuri este soluția este de a calcula valoarea funcției ax + by într-un punct ( x 0 , y 0 ) care nu este pe o dreaptă și de a verifica dacă acest punct satisface inegalitatea .

De exemplu [3] , pentru a desena o soluție x + 3 y < 9, mai întâi trageți o linie cu ecuația x + 3 y = 9 (linie întreruptă) pentru a arăta că linia nu aparține zonei soluției, deoarece inegalitatea este strict. Apoi alegem un punct convenabil care nu este pe linie, cum ar fi (0,0). Deoarece 0 + 3(0) = 0 < 9, acest punct aparține mulțimii de soluții ale inegalității, iar semiplanul care conține acest punct (semiplanul „sub” dreptă) este mulțimea soluțiilor la inegalitatea liniară.

Inegalități liniare în spații de dimensiuni superioare

În spațiul R n , inegalitățile liniare sunt expresii care pot fi scrise ca

f({\bar {x)})<b

f({\bar {x)})\leqslant b,

unde f este o formă liniară , și b este o valoare reală constantă. ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$

Mai precis, aceasta poate fi scrisă ca

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant b.

Aici se numesc necunoscute, dar se numesc coeficienți. $x_{1},x_{2},...,x_{n)$ $a_{1},a_{2},...,a_{n)$

Alternativ, același lucru poate fi scris ca

g(x)<0\,

g(x)\leqslant 0,

unde g este o funcție afină [4]

Acesta este

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant 0.

Rețineți că orice inegalitate care conține semnele „mai mare decât” sau „mai mare decât sau egal cu” poate fi rescrisă într-o inegalitate cu semnele „mai puțin decât” sau „mai mic decât sau egal cu”, deci nu este nevoie să definiți inegalitățile liniare. cu aceste semne.

Sisteme de inegalități liniare

Un sistem de inegalități liniare este un set de inegalități cu aceleași variabile:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n }&&\;\leqslant \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_ {n}&&\;\leqslant \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&&\;\vdots \\a_ {m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leqslant \;&&&b_{m}\ \\end{alignedat}}

Aici sunt variabile, sunt coeficienți de sistem și sunt termeni constanți. $x_{1},\ x_{2},...,x_{n)$ $a_{11},\a_{12},...,\a_{mn)$ $b_{1},\b_{2},...,b_{m)$

Pe scurt, aceasta poate fi scrisă ca o inegalitate matriceală

Ax\leqslant b,

unde A este o matrice m × n , x este un vector coloană n ×1 de variabile și b este un vector coloană m ×1 de constante.

În sistemele descrise mai sus, pot fi folosite atât inegalitățile stricte, cât și cele nestrictive.

Nu toate sistemele de inegalități liniare au o soluție.

Aplicații

Poliedre

Mulțimea soluțiilor unei inegalități reale formează un semi -spațiu al spațiului real n - dimensional, unul dintre cele două semi-spații definite de ecuația liniară corespunzătoare.

Mulțimea soluțiilor sistemului de inegalități liniare corespunde intersecției semi-spațiilor definite de inegalități individuale. Este o mulțime convexă deoarece semi-spațiile sunt mulțimi convexe, iar intersecția unei mulțimi de mulțimi convexe este, de asemenea, o mulțime convexă. În cazurile nedegenerate, această mulțime convexă este un poliedru convex (posibil nemărginit, cum ar fi un semi-spațiu, o placă între două semi-spații paralele sau un con convex ). Poate fi, de asemenea, un poliedru gol sau convex de dimensiune inferioară delimitat de un subspațiu afin al spațiului n - dimensional R n .

Programare liniară

Problema programării liniare este căutarea optimului (valoarea maximă sau minimă) a unei funcții (numită funcție obiectiv ) sub un anumit set de constrângeri asupra variabilelor, care, în general, sunt inegalități liniare [5] . Lista acestor restricții este un sistem de inegalități liniare.

Generalizare

Definiția de mai sus necesită operații bine definite de adunare , înmulțire și comparare . Prin urmare, noțiunea de inegalitate liniară poate fi extinsă la inele ordonate și, în special, la câmpuri ordonate . Generalizările de acest tip sunt doar de interes teoretic până când aplicațiile acestor generalizări devin clare.

Note

↑ Miller și Heeren 1986 , p. 355.
↑ Din punct de vedere tehnic, o astfel de afirmație este corectă atunci când a și b nu sunt egale cu zero în același timp. În cazul egalității cu zero, soluția este o mulțime goală sau întregul plan.
↑ Angel, Porter, 1989 , p. 310.
↑ În cazul unui spațiu bidimensional, atât forma liniară, cât și funcția afină sunt numite istoric funcții liniare deoarece graficele lor sunt drepte. În alte dimensiuni, niciuna dintre aceste funcții nu are o linie dreaptă ca grafic, deci generalizarea unei funcții liniare la dimensiuni mai mari se face în sensul proprietăților algebrice, iar acest lucru duce la o separare în două tipuri de funcții. Cu toate acestea, diferența dintre aceste funcții este doar o constantă adăugată.
↑ Angel, Porter, 1989 , p. 373.

Literatură

Allen R. Angel, Stuart R. Porter. Un studiu de matematică cu aplicații. — al 3-lea. - Addison-Wesley, 1989. - ISBN 0-201-13696-1 .
Charles D. Miller, Vern E. Heeren. Idei matematice . — al 5-lea. - Scott, Foresman, 1986. - ISBN 0-673-18276-2 .
Khan Academy: inegalități liniare, microprelegeri online gratuite
Vyalyi MN Inegalități liniare și combinatorie . M.: MTsNMO, 2003. 32 p.