Inel comandat

Un inel ordonat în algebra generală este un inel (de obicei comutativ ), pentru toate elementele cărora este definită o ordine liniară , în concordanță cu operațiile inelului. Cele mai importante exemple din punct de vedere practic sunt inelul de numere întregi și inelele de multipli întregi . $R$ $\mathbb {Z}$

Definiție

Fie un inel ale cărui elemente au o ordine liniară , adică o relație ( mai mică sau egală cu ) cu următoarele proprietăți [1] . $R$ $\leqslant$

Reflexivitate : . $x \leqslant x$
Tranzitivitate : dacă și , atunci . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisimetrie : dacă și , atunci . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Liniaritate: toate elementele sunt comparabile între ele, adică fie , fie . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

În plus, solicităm ca ordinea să fie în concordanță cu operațiile de adunare și înmulțire a inelului:

Dacă , atunci pentru orice z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Dacă și , atunci . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Dacă toate cele 6 axiome sunt îndeplinite, atunci inelul se numește ordonat [2] . $R$

Exemple de inele comandate

Inel de numere întregi $\mathbb{Z}.$
Inelul numerelor pare și, în general, orice inel de numere care sunt multipli ai unui număr real dat diferit de zero (nu neapărat un număr întreg). $k$
Orice câmp ordonat - de exemplu, câmpurile numerelor raționale și reale ) sunt, de asemenea, inele ordonate.
Un exemplu de inel ordonat cu divizori zero : dacă, în grupul aditiv al numerelor întregi, punem toate produsele egale cu zero, atunci obținem un inel ordonat în care orice element este divizor zero (unitatea nu este atunci un element neutru pentru înmulțire, deci se obține un inel fără unitate) [3 ] [4] .

Definiții înrudite

Pentru comoditatea notării, sunt introduse relații secundare suplimentare:

Un raport mai mare sau egal cu : înseamnă că .

x\geqslant y

y\leqslant x

Raportul mai mare decât : înseamnă că și .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Un raport mai mic decât : înseamnă că .

x<y

y>x

O formulă cu oricare dintre aceste 4 relații se numește inegalitate .

Elementele mai mari decât zero sunt numite pozitive , în timp ce cele mai mici de zero sunt numite negative . Setul de elemente pozitive ale unui inel ordonat este adesea notat cu $R$ $R_{+}.$

Un inel ordonat discret este un inel ordonat care nu are elemente între 0 și 1. Numerele întregi sunt un inel ordonat discret, în timp ce numerele raționale nu sunt.

Proprietăți de bază

Toate au următoarele proprietăți. $x,y,z\in R$

Fiecare element al unui inel ordonat aparține uneia și numai uneia dintre cele trei categorii: pozitiv, negativ, zero. Dacă este pozitiv, atunci negativ și invers. $X$ $-X$
Se pot adăuga inegalități similare:

Dacă și , atunci .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Inegalitățile pot fi înmulțite cu elemente nenegative:

Dacă și , atunci .

x \leqslant y

z\geqslant 0

zx\leqslant zy

Un inel ordonat nu are divizori zero dacă și numai dacă produsul elementelor pozitive este pozitiv.
Regula semnului: produsul elementelor diferite de zero cu aceleași semne este nenegativ (dacă nu există divizori zero în inel, atunci pozitiv), iar produsul unui element pozitiv cu unul negativ este nepozitiv (dacă nu există divizori zero, apoi negativ),
- Corolarul 1: într-un inel ordonat, pătratul unui element diferit de zero este întotdeauna nenegativ (și dacă nu există divizori zero, atunci este pozitiv) [5] .
- Corolarul 2: întotdeauna într-un inel ordonat cu 1 (pentru că 1 este pătratul însuși) [4] . $1>0$
Un inel ordonat care nu este banal (adică conține mai mult decât zero) este infinit.
Orice inel ordonat cu unitate și fără divizori zero conține unul și doar un sub-inel izomorf cu inelul întregilor [6] . $\mathbb {Z}$

Exemple de inele și câmpuri care nu permit comanda

Numerele complexe nu formează un inel ordonat, deoarece într-un inel ordonat, așa cum sa menționat mai sus, pătratul unui element este întotdeauna nenegativ, iar unitatea imaginară nu poate intra în el.
Câmpuri de sfârșit .
numere p-adice .

Valoare absolută

Determinați valoarea absolută a elementului $x:$

|x|=\max(x,-x)

Aici funcția selectează cea mai mare valoare. Are următoarele proprietăți (pentru tot inelul) [7] . $\max$ $X y$

$|x|=0$ dacă și numai dacă . $x=0$
Pentru toți non-zero și numai pentru ei . $X$ $|x|>0$
Valorile absolute ale numerelor opuse sunt aceleași: $|x|=|{-x}|$
Inegalitatea triunghiului : . $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
Multiplicativitate: $|xy|=|x||y|.$
$|x|\leqslant y$ este echivalent cu $-y\leqslant x\leqslant y$

Variații și generalizări

Teoria inelelor ordonate acoperă și cazuri speciale de inele necomutative (sau chiar neasociative). Sunt explorate și alte variante:

Inelul nu este liniar, ci doar parțial ordonat , adică nu toate elementele pot fi comparate folosind o anumită ordine [8] .
În loc de inel, există un semiring , adică, în general, nu există scădere în el [9] . Exemplu: serie naturală extinsă cu zero.

Note

↑ Lam, TY (1983), Comandări, evaluări și forme pătratice , voi. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, Societatea Americană de Matematică , ISBN 0-8218-0702-1
↑ Bourbaki, 1965 , p. 271.
↑ Bourbaki N. Algebra. Structuri algebrice. Algebră liniară. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 p.
↑ 1 2 Bourbaki, 1965 , p. 272.
↑ Nechaev, 1975 , p. 90.
↑ Nechaev, 1975 , p. 100.
↑ Nechaev, 1975 , p. 91.
↑ Inel parțial comandat . Preluat la 27 ianuarie 2019. Arhivat din original la 27 ianuarie 2019. (nedefinit)
↑ Nechaev, 1975 , p. 88-89.

Literatură

Bourbaki N. Algebră. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate. - M . : Nauka, 1965. - S. 271-272. — 299 p.
Nechaev V. I. 6.4. Inele și corpuri ordonate liniar // Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - S. 90-94. — 199 p.

Link -uri

Inel comandat pe site- ul PlanetMath .