Matricea Cauchy (algebră liniară)

În matematică , matricea Cauchy  (  numită după Augustin Louis Cauchy ) este o matrice m × n cu intrări de forma

a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leqslant i\leq m,\quad 1\leqslant j\leq n,

unde și sunt elemente ale câmpului , iar secvențele și astfel de elemente sunt injective (nu conțin elemente care se repetă). $x_{i}$ $y_{j}$ ${\mathcal {F}}$ $(x_{i})$ $(y_{j})$

Matricea Hilbert este un caz special al matricei Cauchy pentru

x_{i}-y_{j}=i+j-1.

Fiecare submatrice (o matrice obținută prin ștergerea unui anumit rând și coloană) a matricei Cauchy este, de asemenea, o matrice Cauchy.

Cauchy determinanți

Determinantul matricei Cauchy pătrate este o funcție rațională deliberată a parametrilor și . Dacă aceste secvențe nu sunt injective , atunci determinantul este zero. Dacă unii tind spre , atunci determinantul tinde spre infinit. Astfel, o parte din mulțimea de zerouri și poli ai determinantului Cauchy este cunoscută dinainte. De fapt, nu există alte zerouri și poli. $(x_{i})$ $(y_{j})$ $x_{i}$ $y_{j}$

O formă explicită a determinantului matricei Cauchy pătrate A , numită simplu determinant Cauchy :

\det \mathbf {A} = {{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j}) (y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j}) }}

(Schechter 1959, ec. 4).

Este întotdeauna diferit de zero, astfel încât matricele Cauchy sunt inversabile . Matricea inversă A −1 = B = [b ij ] are forma:

b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})

(Schechter 1959, Teorema 1)

unde A i (x) și B i (x) sunt polinoamele Lagrange pentru șirurile și , respectiv. Acesta este $(x_{i})$ $(y_{j})$

A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i))))}

și

\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime}(y_{i})(x-y_{i))))),

Unde

A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})

și

\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).

Generalizare

O matrice C se numește matrice de tip Cauchy dacă are forma

C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.

Notând X =diag(x i ), Y =diag(y i ), obținem că matricele de tip Cauchy (în special, doar matrice Cauchy) satisfac ecuația deplasată :

\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} )

(în cazul matricelor Cauchy ). Prin urmare, matricele de tip Cauchy au o structură părtinitoare comună , care poate fi utilizată atunci când se lucrează cu astfel de matrici. De exemplu, există algoritmi cunoscuți pentru $r=s=(1,1,\ldots,1)$

înmulțirea aproximativă a matricei Cauchy cu un vector în operații, $O(n\log n)$
Descompunerea LU în operații (algoritmul GKO) și algoritmul corespunzător pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu astfel de matrici, $O(n^{2})$
algoritmi instabili pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare în operaţii. $O(n\log ^{2}n)$

V desemnează dimensiunea matricei (de obicei se ocupă de matrice pătrată , deși toți algoritmii de mai sus pot fi generalizați cu ușurință la matrici dreptunghiulare). $n$

Vezi și

Matricea Toeplitz

Link -uri

A. Gerasoulis. Un algoritm rapid pentru multiplicarea matricelor Hilbert generalizate cu vectori // Matematica calculului : jurnal. - 1988. - Vol. 50 , nr. 181 . - P. 179-188 .
I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky. Eliminare rapidă Gaussiană cu pivotare parțială pentru matrice cu structură de deplasare // Matematica calculului : jurnal. - 1995. - Vol. 64 , nr. 212 . - P. 1557-1576 .
P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin. Un algoritm pentru inversarea matricelor generale Toeplitz $O(N\log ^{2}N)$ // Calculatoare și matematică cu aplicații : jurnal . - 2005. - Vol. 50 . - P. 741-752 .
S. Schechter. Despre inversarea anumitor matrici // Tabele matematice și alte ajutoare pentru calcul : jurnal. - 1959. - Vol. 13 , nr. 66 . - P. 73-77 .