Matricea Toeplitz

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Matricea Toeplitz ( matricea diagonală constantă ) este o matrice în care toate diagonalele paralele cu cea principală au elemente egale:

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{ -1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_ {-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0} \end{bmatrix}}

adică următoarea relație este valabilă:

a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1)

Numit după matematicianul german Otto Toeplitz .

Exemplu

Matrice 4×5:

M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix))

Proprietăți

Două matrice Toeplitz pot fi adăugate în operații. Matricea Toeplitz poate fi înmulțită cu un vector în operații, iar înmulțirea matricei Toeplitz se poate face în operații. $Pe)$ $O(n\log n)$ $O(n^{2})$

Sistemul de ecuații liniare Toeplitz , adică sistemul de forma , unde este matricea Toeplitz, poate fi rezolvat prin metoda Levinson în timp [1] [2] . $ax=b$ $A$ $O(n^{2})$

Matricele Toeplitz sunt, de asemenea, legate de seria Fourier : operatorul de înmulțire cu un polinom de sinusuri sau cosinusuri , proiectat pe un spațiu finit-dimensional , poate fi reprezentat printr-o astfel de matrice.

Vezi și

Note

↑ Krishna, H.; Wang, Y. Algoritmul Split Levinson este slab stabil (engleză) // SIAM Journal on Numerical Analysis : journal. - 1993. - Vol. 30 , nr. 5 . - P. 1498-1508 . - doi : 10.1137/0730078 .
↑ Blahut R. E. // Algoritmi rapizi pentru procesarea semnalului digital / Per. din engleza. I. I. Grushko. — M .: Mir, 1989. — 448 p. — ISBN 5-09-001009-2 .

Link -uri

Matrice Tyrtyshnikov E. E. Toeplitz, unele dintre analogii și aplicațiile lor / Executive Editor Corr. URSS VV Voevodin. - M. : VINITI, 1989. - 184 p. - 150 de exemplare. Arhivatpe 26 august 2017 laWayback Machine

Robert M. Gray Toeplitz și matrici circulante: o revizuire . - California, SUA: nowpublishers.com, 2000. - 98 p.

Babenko, K. I. Despre matricele Toeplitz și Hankel // Progrese în științe matematice. - 1986. - T. 41, nr. 1 (247). - S. 171-178.

Iokhvidov I.S. Matrici și forme Gankel și Toeplitz : Algebraich. teorie . — M .: Nauka, 1974. — 263 p.

Pustylnikov L. D. Matricele Toeplitz și Hankel și aplicațiile lor // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1984. - T. 39, nr. 4 (238). - S. 53-84.