Seria Fourier

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 aprilie 2022; verificările necesită 5 modificări .

Seria Fourier - reprezentarea unei funcțiicu o perioadăca serie $f$ $\tau$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\ frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)

Această serie poate fi scrisă și ca

f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{} \tau }}x},

Unde

A_k

este amplitudinea oscilației armonice a treia,

k

k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega

este frecvența circulară a oscilației armonice,

\theta_k

este faza inițială a oscilației,

k

\hat{f}_k

— amplitudinea complexă

k

Într-o formă mai generală, seria Fourier a unui element al unui spațiu de funcții este extinderea acestui element într-un sistem complet de funcții ortonormale, sau cu alte cuvinte, într-o bază constând din funcții ortogonale . În funcție de tipul de integrare folosit, se vorbește de seria Fourier-Riemann , seria Fourier-Lebesgue etc. [1]

Există multe sisteme de polinoame ortogonale și alte funcții ortogonale (cum ar fi funcțiile Haar , Walsh și Kotelnikov) în care se poate realiza o expansiune în serie Fourier a unei funcții.

Extinderea seriei Fourier a unei funcții este un instrument puternic pentru rezolvarea unei game largi de probleme datorită faptului că seria Fourier se comportă transparent la diferențierea , integrarea , deplasarea unei funcții în raport cu un argument și convoluția funcțiilor.

Există numeroase generalizări ale seriei Fourier în diferite ramuri ale matematicii. De exemplu, orice funcție dintr-un grup finit poate fi extinsă într-o serie similară cu seria Fourier în ceea ce privește elementele matriceale ale reprezentărilor ireductibile ale acelui grup ( teorema completității ).

Istorie

Seria Fourier poartă numele matematicianului francez Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), care a adus o contribuție importantă la studiul seriilor trigonometrice după studiile preliminare ale lui Leonhard Euler , Jean Léron d'Alembert și Daniil Bernoulli [2] . Fourier a introdus o serie cu scopul de a rezolva ecuația căldurii într-o placă de metal, scriind rezultatele sale inițiale în Reminiscence of the Propagation of Heat in Solids (Tratat privind propagarea căldurii în solide) și publicând-o în Analytical Theory of Heat. (Théorie analytique de la chaleur) în 1822. Reminiscența oferă o analiză a lui Fourier, în special a seriei Fourier. Datorită cercetărilor lui Fourier, s-a stabilit faptul că o funcție arbitrară (continuă) [3] poate fi reprezentată printr-o serie trigonometrică. Primul anunț al acestei mari descoperiri a fost făcut de Fourier în 1807 în fața Academiei Franceze [4] . Ideile timpurii de extindere a unei funcții periodice într-o sumă de funcții oscilatorii simple datează din secolul al III-lea î.Hr., când astronomii antici au propus un model empiric al mișcării planetare bazat pe familii și epicicluri.

Ecuația căldurii este o ecuație diferențială parțială. Înainte de lucrările lui Fourier, soluția ecuației căldurii nu era cunoscută în general, deși se cunoșteau soluții specifice dacă sursa de căldură se comporta într-un mod simplu, în special dacă sursa de căldură era o undă sinusoidală sau cosinus. Aceste soluții simple sunt acum uneori denumite soluții native. Ideea lui Fourier a fost să modeleze o sursă de căldură complexă ca o suprapunere (sau o combinație liniară) de unde simple sinusoidale și cosinus și să scrie soluția ca o suprapunere a soluțiilor proprii corespunzătoare. Această suprapunere sau combinație liniară se numește seria Fourier.

Din punct de vedere modern, rezultatele lui Fourier sunt oarecum informale din cauza lipsei unui concept precis de funcție și integrală la începutul secolului al XIX-lea. Mai târziu , Peter Gustav Lejeune Dirichlet [5] și Bernhard Riemann [6] [7] [8] au exprimat rezultatele lui Fourier cu o mai mare precizie și formalitate.

Deși motivația inițială a fost de a rezolva ecuația căldurii, mai târziu a devenit evident că aceleași metode ar putea fi aplicate la o gamă largă de probleme matematice și fizice, în special cele care implică ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți, pentru care soluțiile proprii sunt sinusoide. Seria Fourier are multe aplicații în inginerie electrică, analiza vibrațiilor, acustică, optică, procesare a semnalului, procesare a imaginilor, mecanică cuantică, econometrie [9] , teoria suprapunerii [10] , etc.

Seria Fourier trigonometrică

Seria Fourier trigonometrică a unei funcții (adică o funcție însumabilă pe intervalul , sau extensia sa periodică la dreapta reală) este o serie funcțională de forma $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $([-\pi ,\pi ])$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),

(unu)

Unde

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Numerele și ( ) se numesc coeficienți Fourier ai funcției . Formulele pentru acestea pot fi explicate după cum urmează. Să presupunem că vrem să reprezentăm o funcție ca o serie (1) și trebuie să determinăm coeficienții necunoscuți și . Dacă înmulțim partea dreaptă a lui (1) cu și integrăm pe intervalul , atunci toți termenii din partea dreaptă, datorită ortogonalității sinusurilor și cosinusurilor din acest interval, vor dispărea, cu excepția unuia. Din egalitatea rezultată, coeficientul este ușor de exprimat . La fel pentru . $a_{0}$ $un$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldots$ $f$ $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $a_{0}$ $un$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Seria (1) pentru o funcție dintr -un spațiu converge în acest spațiu. Cu alte cuvinte, dacă notăm prin sumele parțiale ale seriei (1): $f$ ${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

atunci abaterea lor standard de la funcție va tinde spre zero: $f$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

În ciuda convergenței pătrate-rădăcină, seria Fourier a unei funcții, în general, nu este necesară să convergă punctual către ea.

Adesea, atunci când lucrați cu seria Fourier, este mai convenabil să folosiți exponenții argumentului imaginar în loc de sinusuri și cosinusuri ca bază. Considerăm spațiul ${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ funcțiilor cu valori complexe cu produs interior

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Luăm în considerare și sistemul de funcții

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Ca și înainte, aceste funcții sunt ortogonale pe perechi și formează un sistem complet și, astfel, orice funcție poate fi extinsă peste ele într-o serie Fourier: $f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

unde seria din partea dreaptă converge către în norma în . Aici $f$ $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Coeficienții sunt legați de coeficienții Fourier clasici prin următoarele relații: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0

\hat{f}_0 = a_0/2

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0

Pentru o funcție cu valoare reală, coeficienții și sunt conjugați complexe. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Generalizări

Seria Fourier în spațiul Hilbert

Construcția descrisă mai sus poate fi generalizată de la cazul unui spațiu $L^2[-\pi,\pi]$ cu sistem trigonometric la un spațiu Hilbert arbitrar. Fie dat un sistem ortogonal într-un spațiu Hilbert și să fie un element arbitrar din . Să presupunem că vrem să reprezentăm ca o combinație liniară (infinită) de elemente : $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ $H$ $f$ $H$ $f$ $\{\varphi_k\}$

f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.

Să înmulțim această expresie cu . Ținând cont de ortogonalitatea sistemului de funcții , toți termenii seriei dispar, cu excepția termenului de la : $\varphi_k$ $\{\varphi_k\}$ $n=k$

(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.

Numerele

c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2)))

se numesc coordonate sau coeficienți Fourier ai elementului din sistem și serie $f$ $\{\varphi_k\}$

\sum_k c_k \varphi_k

se numește seria Fourier a elementului din sistemul ortogonal . $f$ $\{\varphi_k\}$

Seria Fourier a oricărui element din orice sistem ortogonal converge în spațiu , dar suma sa nu este neapărat egală cu . Pentru un sistem ortonormal într-un spațiu Hilbert separabil , următoarele condiții sunt echivalente: $f$ $H$ $f$ ${\varphi_k}$

sistemul este o bază , adică suma seriei Fourier a oricărui element este egală cu acel element.
sistemul este complet , adică nu există un element diferit de zero ortogonal cu toate elementele în același timp. $H$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$
sistemul este închis , adică pentru orice egalitate Parseval $f\in H$

\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2)

combinațiile liniare de elemente sunt dense spațial . $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ $H$

Dacă aceste condiții nu sunt îndeplinite, atunci suma seriei Fourier a unui element este egală cu proiecția sa ortogonală pe închiderea intervalului liniar al elementelor . În acest caz, în loc de egalitatea Parseval, inegalitatea Bessel este adevărată : $f$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$

\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.

Exemple

Funcțiile trigonometrice , formează baza unui spațiu Hilbert . Dacă luăm în considerare numai cosinusuri sau numai sinusuri, atunci un astfel de sistem nu mai este complet. Închiderea intervalului liniar al funcțiilor este toate funcțiile pare din , iar închiderea intervalului liniar al funcțiilor este toate funcțiile impare. Rezultatul extinderii funcției în serii Fourier în aceste sisteme va fi părțile pare și, respectiv, impare ale funcției : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $L_2[-\pi,\pi]$ $\cos(kx)$ $L_{2}$ $\sin(kx)$ $f$ $f$

\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2)),

\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2)).

O situație și mai interesantă apare atunci când luăm în considerare sistemul . Acest sistem nu va fi din nou complet. Închiderea intervalului său liniar este spațiul Hardy . Elementele acestui spațiu sunt acele și numai acele funcții care au forma , unde sunt valorile limită ale unei funcții analitice în cerc $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}$ $H_2$ $f\în L_2$ $f(t)=g(e^{it})$ $g$ $|z|<1.$

Dualitate Pontryagin

La generalizarea teoriei seriilor Fourier la cazul spațiilor Hilbert, se pierd proprietățile care exprimă legătura seriei Fourier cu convoluția - faptul că coeficienții Fourier ai convoluției funcțiilor sunt produse în termeni ai coeficienților lor Fourier și invers, coeficienții Fourier ai produsului sunt reprezentați de convoluția coeficienților Fourier ai factorilor. Aceste proprietăți sunt cheia aplicațiilor teoriei Fourier la soluția ecuațiilor diferențiale , integrale și a altor ecuații funcționale. Prin urmare, de mare interes sunt astfel de generalizări ale teoriei seriilor Fourier sub care aceste proprietăți sunt păstrate. O astfel de generalizare este teoria dualității a lui Pontryagin. Se consideră funcții definite pe grupuri abeliene compacte local . Un analog al seriei Fourier a unei astfel de funcții este o funcție definită pe grupul dual.

Convergența seriei Fourier

Studiu de rezultate privind convergența seriei Fourier

Notăm prin sumele parțiale ale seriei Fourier funcțiile : $S_N(f,x)$ $f(x)$

S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}

În continuare, discutăm despre convergența unei secvențe de funcții la o funcție în diferite sensuri. Funcția se presupune a fi -periodică (dacă este dată numai pe intervalul , se poate continua periodic). $S_N(f,x)$ $f(x)$ $f$ $2\pi$ $[-\pi,\pi]$

Dacă , atunci șirul converge către o funcție în sensul . În plus, sunt cea mai bună (în termeni de distanță în ) aproximare a funcției printr-un polinom trigonometric de grad cel mult . $f\în L_2([-\pi,\pi])$ $S_N(f,x)$ $f(x)$ $L_{2}$ $S_N(f,x)$ $L_{2}$ $f$ $N$
Convergența seriei Fourier într-un punct dat este o proprietate locală, adică dacă funcțiile și coincid într-o anumită vecinătate , atunci șirurile și fie diverg simultan, fie converg simultan, caz în care limitele lor coincid. (Principiul localizării). $x_{0}$ $f$ $g$ $x_{0}$ $S_N(f,x_0)$ $S_N(g,x_0)$
Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct , atunci seria sa Fourier converge către în acel punct . Condiții suficiente mai precise în ceea ce privește netezimea unei funcții sunt date de testul Dini . $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $f$
O funcție continuă într-un punct poate avea o serie Fourier divergentă la el. Cu toate acestea, dacă converge, atunci prin toate mijloacele la . Aceasta rezultă din faptul că pentru o funcție continuă șirul converge în sensul lui Cesàro către . $x_{0}$ $f(x_{0})$ $x_{0}$ $f$ $S_N(f,x_0)$ $f(x_{0})$
Dacă funcția este discontinuă în punctul , dar are limite în acest punct la dreapta și la stânga, atunci în unele condiții suplimentare converge către . Consultați semnul Dini modificat pentru detalii . $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),$ $S_N(f,x_0)$ $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$
Teorema lui Carleson: dacă , atunci seria lui Fourier converge către ea aproape peste tot . Acest lucru este valabil și dacă . Cu toate acestea, există funcții din , a căror serie Fourier diverge în toate punctele (un exemplu de astfel de funcție a fost construit de Kolmogorov [11] ). $f\în L_2([-\pi,\pi])$ $f\în L_p([-\pi,\pi]), p>1$ $L_1([-\pi,\pi])$
Să reparăm un punct . Atunci mulțimea tuturor funcțiilor continue a căror serie Fourier converge în acest punct este mulțimea primei categorii din spațiu . Într-un fel, aceasta înseamnă că o funcție continuă „tipică” are o serie Fourier divergentă. $x_0\in(-\pi,\pi)$ $C([-\pi,\pi])$

Scăderea coeficienților Fourier și analiticitatea unei funcții

Există o legătură fundamentală între analiticitatea unei funcții și rata de scădere a coeficienților ei Fourier. Cu cât funcția este „mai bună”, cu atât mai rapid coeficienții ei tind spre zero și invers. Dezintegrarea putere-lege a coeficienților Fourier este inerentă funcțiilor clasei , iar dezintegrarea exponențială este inerentă funcțiilor analitice . Exemple de acest tip de conexiune: $C^{(k)}$

Coeficienții Fourier ai oricărei funcții integrabile tind spre zero ( lema Riemann-Lebesgue ).
Dacă o funcție aparține clasei , adică este ori diferențiabilă și derivata sa --a este continuă, atunci $f$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k$ $k$ $\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\dreapta)$
Dacă seria converge absolut , atunci ea coincide aproape peste tot cu funcția de clasă pentru toți . $\sum n^{\alpha}\hat{f}_n$ $f$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k<\alfa$
Dacă o funcție aparține clasei Hölder cu exponent , atunci seria converge absolut ( teorema lui Bernstein ). $\alpha>1/2$ $\sum \hat{f}_n$
Dacă , atunci seria Fourier trigonometrică converge către o funcție analitică . $\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1$

Vezi și

Note

↑ Dicţionar enciclopedic matematic . - M .: „Bufnițe. enciclopedie " , 1988. - S. 619 .
↑ Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. - Curier, 2003. - P. 209-210. — ISBN 978-0-486-43261-8 . Arhivat pe 18 aprilie 2021 la Wayback Machine
↑ Stillwell, John Logica și filosofia matematicii în secolul al XIX-lea // Routledge History of Philosophy / Ten, CL. - Routledge , 2013. - T. Volumul VII: Secolul XIX. - P. 204. - ISBN 978-1-134-92880-4 . Arhivatpe 16 mai 2020 laWayback Machine
↑ Florian Cajori . O istorie a matematicii . - Macmillan, 1893. - S. 283.
↑ Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites data (franceză) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1829. - Vol. 4 . - P. 157-169 . - arXiv : 0806.1294 .
↑ Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (germană) ? . Habilitationsschrift , Göttingen ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , voi. 13, 1867. Publicat postum pentru Riemann de Richard Dedekind . Consultat la 19 mai 2008. Arhivat din original pe 20 mai 2008. (nedefinit)
↑ Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Teza postumă privind reprezentarea funcțiilor prin serii trigonometrice , în Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier, 2005 , < https://books .google.com/books?id=UdGBy8iLpocC >
↑ Remmert, Reinhold. Teoria funcțiilor complexe: lecturi la matematică (engleză) . - Springer, 1991. - P. 29. Arhivat 16 mai 2020 la Wayback Machine
↑ Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analiza serii economice de timp. Teorie economică, econometrie și economie matematică (engleză) . - Elsevier , 1995. - ISBN 0-12-515751-7 .
↑ Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (germană) . - Berlin: Springer-Verlag , 1957. Arhivat 14 mai 2020 la Wayback Machine
↑ V. M. Tihomirov, V. V. Uspensky . Primii laureați Fields și matematica sovietică din anii 1930. I. - Matematică. iluminare, ser. 3, 2, MTsNMO, M., 1998, 21-40.

Literatură

Zhuk VV, Natanson GI Serii Fourier trigonometrice și elemente de teoria aproximării. - L . : Editura Leningrad. un-ta, 1983. - 188 p.
Rudin U. Fundamentele analizei matematice. — 1976.
Piskunov N. S. Calcul diferențial și integral pentru VTUZ. - M . : „Nauka”, 1964. - T. 2.
Sigmund A. Seria trigonometrică. - M . : „Mir”, 1965. - T. 1.
Hardy G. Kh. , Rogozinsky V. V. Seria Fourier. — M .: Fizmatgiz , 1959.

Link -uri

Reprezentarea semnalelor periodice. Seria Fourier . (nedefinit)
Unele proprietăți ale expansiunii semnalelor periodice într-o serie Fourier . (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX540313 BNF : 11979488t J9U : 987007548250805171 LCCN : sh85051090 NDL : 00562088 NKC : ph135377

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux