Metoda Gauss-Seidel pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare

Metoda Gauss-Seidel (metoda Seidel, procesul Libman, metoda substituției succesive) este o metodă iterativă clasică pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare .

Numit după Seidel și Gauss .

Enunțul problemei

Luați sistemul: , unde $A\vec{x}=\vec{b}$ $A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \ end{array} \right),\quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$

Sau $\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n& = & b_{1} \\ & &\\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn }x_n & = & b_{n} \end{array} \right.$

Și vom arăta cum poate fi rezolvată folosind metoda Gauss-Seidel.

Metoda

Pentru a clarifica esența metodei, rescriem problema în formă

\left\{ \begin{array}{lcr} a_{11}x_1 & = &-a_{12}x_2 - a_{13}x_3 -\ldots - a_{1n}x_n + b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & = & -a_{23}x_3 - \ldots - a_{2n}x_n + b_2\\ \ldots & &\\ a_{(n-1)1}x_1 + a_{(n- 1)2}x_2 +\ldots+ a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1} & = & -a_{(n-1)n}x_n + b_{n-1}\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\ldots+ a_{n(n-1)}x_{n-1}+ a_{nn}x_n & = & b_n \end{array} \right.

Aici, în a- a ecuație, am transferat în partea dreaptă toți termenii care conțin , pentru . Această intrare poate fi reprezentată ca $j$ $x_{i}$ $i>j$

(\mathrm{L} + \mathrm{D} )\vec{x} = -\mathrm{U} \, \vec{x} + \vec{b},

unde, în notația acceptată, înseamnă o matrice a cărei diagonală principală conține elementele corespunzătoare ale matricei și toate celelalte zerouri; în timp ce matricele și conțin părți triunghiulare superioare și inferioare , pe diagonala principală a cărora sunt zerouri. $\mathrm{D}$ $A$ $\mathrm{U}$ $\mathrm{L}$ $A$

Procesul iterativ din metoda Gauss-Seidel este construit conform formulei

(\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k) }+{\vec {b)],\quad k=0,1,2,\ldots

după alegerea aproximării iniţiale adecvate . $\vec{x}^{(0)}$

Metoda Gauss-Seidel poate fi privită ca o modificare a metodei Jacobi . Ideea principală a modificării este că noile valori sunt folosite aici de îndată ce sunt primite, în timp ce în metoda Jacobi nu sunt utilizate până la următoarea iterație: $\vec{x}^{(i)}$

\left\{\begin{array}{cccccccccc} {x_{1}}^{(k+1)} &=& c_{12}{x_2^{(k))) &+& c_{13}x_3 ^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{1n}{x_n}^{(k)} &+& d_1 \\ {x_{2}}^{(k+1)} & =& c_{21}{x_1^{(k+1)}} &+& c_{23}x_3^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{2n}{x_n}^{ (k)} &+& d_2 \\ \ldots & & & & & & & & & & \\ {x_{n}}^{(k+1)} &=& c_{n1}{x_1^{( k+1)}} &+& c_{n2}{x_2^{(k+1)}}&+& {\ldots}&+& c_{n(n-1)}{x_{n-1} }^{(k+1)} &+& d_n \end{matrice}\right.,

Unde

c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases} }\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.

Astfel, componenta i -a a aproximării -a este calculată prin formula $(k+1)$

x_{i}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\sum _ {j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n.

De exemplu, când : $n=3$

x_{1}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{1-1}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\sum _{{j=1}}^{{3}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{1}

, acesta este

x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13} x_{3}^{(k)}+d_{1},

x_{2}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{2-1}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\sum _{{j=2}}^{{3}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{2}

, acesta este

x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{ 23}x_{3}^{(k)}+d_{2},

x_{3}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{3-1}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\sum _{{j=3}}^{{3}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{3}

, acesta este

x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+ c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}.

Condiție de convergență

Să prezentăm o condiție suficientă pentru convergența metodei.

Teorema .
Fie, undeeste matricea inversă cu. Apoi, pentru orice alegere de aproximare inițială:

\|\mathrm {A} _{2}\|<1

\mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\ mathrm {D} )^{-1}

(\mathrm {L} +\mathrm {D} )

\vec{x}^{(0)}

metoda Gauss-Seidel converge;
rata de convergenţă a metodei este egală cu rata de convergenţă a unei progresii geometrice cu numitorul ; $q=\|\mathrm {A} _{2}\|$
estimarea corectă a erorii: . $\|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0) }-{\vec {x}}\|$

Condiție de încetare

Condiția pentru încheierea procesului iterativ Seidel atunci când precizia este atinsă într-o formă simplificată are forma: $\varepsilon$

\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \le \varepsilon

O condiție mai precisă pentru terminarea procesului iterativ o are forma

\parallel Ax^{(k)}-b\parallel \le \varepsilon

și necesită mai multe calcule. Bun pentru matrici rare .

Exemplu de implementare în C++

#include <iostream> #include <cmath> folosind namespace std ; // Încheierea condiției bool converge ( dublu xk [ 10 ], dublu xkp [ 10 ], int n , dublu eps ) { dubla norma = 0 ; pentru ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) norma += ( xk [ i ] - xkp [ i ]) * ( xk [ i ] - xkp [ i ]); return ( sqrt ( norm ) < eps ); } dublu okr ( dublu x , dublu eps ) { int i = 0 ; double neweps = eps ; în timp ce ( neweps < 1 ) { i ++ ; neweps *= 10 ; } int okr = pow ( dublu ( 10 ), i ); x = int ( x * okr + 0,5 ) / dublu ( okr ); întoarce x ; } diagonala bool ( dublu a [ 10 ][ 10 ], int n ) { int i , j , k = 1 ; sumă dublă ; pentru ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { suma = 0 ; pentru ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) suma += abs ( a [ i ][ j ]); sum -= abs ( a [ i ][ i ]); dacă ( suma > a [ i ][ i ]) { k = 0 _ cout << a [ i ][ i ] << " < " << sum << endl ; } altfel { cout << a [ i ][ i ] << " > " << sum << endl ; } } return ( k == 1 ); } int main () { setlocale ( LC_ALL , "" ); dublu eps , a [ 10 ][ 10 ], b [ 10 ], x [ 10 ], p [ 10 ]; int n , i , j , m = 0 ; metoda int _ cout << "Introduceți dimensiunea matricei pătrate: " ; cin >> n ; cout << "Introduceți precizia de calcul: " ; cin >> eps ; cout << "Completați matricea A: " << endl << endl ; pentru ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) pentru ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) { cout << "A[" << i << "][" << j << "] = " ; cin >> a [ i ][ j ]; } cout << endl << endl ; cout << "Matricea ta A este: " << endl << endl ; pentru ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { pentru ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) cout << a [ i ][ j ] << " " ; cout << endl ; } cout << endl ; cout << "Completează coloana pentru membri gratuiti: " << endl << endl ; pentru ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { cout << "B[" << i + 1 << "] = " ; cin >> b [ i ]; } cout << endl << endl ; /* Progresul metodei, unde: a[n][n] - Matricea coeficienților x[n], p[n] - Soluții curente și anterioare b[n] - Coloana părților drepte Toate tablourile de mai sus sunt reale și trebuie definite în programul principal, de asemenea, în tabloul x[n] ar trebui să puneți inițiala aproximarea coloanei cu soluție (de exemplu, toate zerourile) */ pentru ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) x [ i ] = 1 ; cout << "Dominanță diagonală: " << endl ; dacă ( diagonala ( a , n )) { do { pentru ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) p [ i ] = x [ i ]; pentru ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { var dublu = 0 ; pentru ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) if ( j != i ) var += ( a [ i ][ j ] * x [ j ]); x [ i ] = ( b [ i ] - var ) / a [ i ][ i ]; } m ++ ; } în timp ce ( ! converge ( x , p , n , eps )); cout << "Decizie de sistem:" << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) cout << "x" << i << " = " << okr ( x [ i ], eps ) << "" << endl ; cout << "Iterații: " << m << endl ; } else { cout << "Fără dominanță diagonală" << endl ; } sistem ( „pauză” ); returnează 0 ; }

Exemplu de implementare în Python

import numpy ca np def seidel ( A , b , eps ): n = len ( A ) x = np . zerouri ( n ) # vector zero converge = Fals în timp ce nu converge : x_new = np . copie ( x ) pentru i în interval ( n ): s1 = sumă ( A [ i ][ j ] * x_new [ j ] pentru j în interval ( i )) s2 = sumă ( A [ i ][ j ] * x [ j ] pentru j în interval ( i + 1 , n )) x_new [ i ] = ( b [ i ] - s1 - s2 ) / A [ i ][ i ] converge = np . sqrt ( suma (( x_new [ i ] - x [ i ]) ** 2 pentru i în interval ( n ))) <= eps x = x_new întoarce x

Vezi și

Note

Link -uri

Metode de rezolvare a SLAE
Metode directe	Metoda matricei metoda Gauss Metoda Gauss-Iordan Metoda Cramer descompunerea LU Descompunerea Cholesky Metoda de măturare
Metode iterative	metoda Jacobi Metoda Gauss-Seidel Metoda de iterație Metoda de relaxare Metoda gradientului conjugat Metoda gradientului biconjugat Metoda gradientului biconjugat stabilizat
General	matrice inversă Metode de proiecție pentru rezolvarea SLAE Precondiționare