Metoda de relaxare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Metoda relaxării (din lat. relaxatio aici „reducere”) este o metodă iterativă de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare .

Descrierea metodei

Sistem de ecuații liniare

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matrix} \right.$

redus la forma [1]

$\left\{{\begin{matrix}P_{11}x_{1}+P_{12}x_{2}+\ldots +P_{1n}x_{n}+c_{1}&=&0 \\&\ldots &\\P_{n1}x_{1}+P_{n2}x_{2}+\ldots +P_{nn}x_{n}+c_{n}&=&0\\\end{ matrice}}\dreapta.$

unde , . Adică toate = -1. $P_{ij}=-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}$ $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$ $P_{ii)$

Se gasesc reziduuri : $R_{j}$

$\left\{{\begin{matrix}R_{1}^{(0)}&=&c_{1}-x_{1}^{(0)}+\sum \limits _{j=2 }^{n}P_{1j}x_{j}^{(0)}\\R_{2}^{(0)}&=&c_{2}-x_{2}^{(0)}+\ suma \limits _{j=1,j\neq 2}^{n}P_{2j}x_{j}^{(0)}\\&\ldots &\\R_{n}^{(0)} &=&c_{n}-x_{n}^{(0)}+\sum \limits _{j=1}^{n-1}P_{nj}x_{j}^{(0)}\\ \end{matrice}}\dreapta.$

Se alege aproximarea inițială . La fiecare pas, este necesar să setați discrepanța maximă la zero: . $X^{(0)} = 0$ $R_{s}^{(k)}=\delta x_{s}^{(k)}\Rightarrow R_{s}^{(k+1)}=0,R_{i}^{( k+1)}=R_{i}^{(k)}+P_{este}\delta x_{s}^{(k)}$

Stare oprire: . $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$

Răspunsul este dat de formula: . $x_i \aprox x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$

Note

↑ Salvadori M.J. Metode numerice în inginerie. - M. , Vuzovskaya kniga, 2007. - ISBN 5-9502-0186-8 - p. 36-42

Metode de rezolvare a SLAE
Metode directe	Metoda matricei metoda Gauss Metoda Gauss-Iordan Metoda Cramer descompunerea LU Descompunerea Cholesky Metoda de măturare
Metode iterative	metoda Jacobi Metoda Gauss-Seidel Metoda de iterație Metoda de relaxare Metoda gradientului conjugat Metoda gradientului biconjugat Metoda gradientului biconjugat stabilizat
General	matrice inversă Metode de proiecție pentru rezolvarea SLAE Precondiționare