Metoda matricei

Metoda matriceală pentru rezolvarea (metoda rezolvării prin matricea inversă ) a sistemelor de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero este următoarea.

Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute (pe un câmp arbitrar): $n$

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \ cdots ,\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n};\end{cases}}$

Apoi poate fi rescris sub formă de matrice:

$AX=B$ , unde este matricea principală a sistemului și sunt coloanele de termeni liberi și, respectiv, soluții ale sistemului: $A$ $B$ $X$

$A={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_{{2n }}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{pmatrix}},B={\begin {pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix)),X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\ \vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Înmulțiți această ecuație matriceală din stânga cu - matricea inversă matricei : $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}\left(AX\right)=A^{{-1}}B$

De când primim . Partea dreaptă a acestei ecuații va oferi o coloană de soluții sistemului original. Condiția pentru aplicabilitatea acestei metode (precum și existența generală a unei soluții la un sistem neomogen de ecuații liniare cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute) este nedegenerarea matricei A. Un necesar și condiție suficientă pentru aceasta este inegalitatea determinantului matricei A la zero: $A^{{-1}}A=E$ $X=A^{{-1}}B$

\det A\neq 0

Pentru un sistem omogen de ecuații liniare, adică atunci când vectorul , regula inversă este adevărată: sistemul are o soluție netrivială (adică diferită de zero) numai dacă . O astfel de conexiune între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește alternativa Fredholm . $B=0$ $AX=0$ $\detA=0$

Un exemplu de rezolvare a unui SLAE neomogen

${\begin{cases}3x+2y-z=4,\\2x-y+5z=23,\\x+7y-z=5;\end{cases))$

În primul rând, ne asigurăm că determinantul matricei de coeficienți pentru SLAE -uri necunoscute nu este egal cu zero.

${\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-1&5\\1&7&-1\end{vmatrix}}=3-14+10-1-105+4=-103;$

Acum calculăm complementele algebrice pentru elementele matricei formate din coeficienții necunoscutelor. Vom avea nevoie de ei pentru a găsi matricea inversă .

$A_{{11}}=(-1)^{{1+1}}\cdot {\begin{vmatrix}-1&5\\7&-1\end{vmatrix}}=-34;$

$A_{{12}}=(-1)^{{1+2}}\cdot {\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}}=7;$

$A_{{13}}=(-1)^{{1+3}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\1&7\end{vmatrix}}=15;$

$A_{{21}}=(-1)^{{2+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\7&-1\end{vmatrix}}=-5;$

$A_{{22}}=(-1)^{{2+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{{23}}=(-1)^{{2+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\1&7\end{vmatrix}}=-19;$

$A_{{31}}=(-1)^{{3+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\-1&5\end{vmatrix}}=9;$

$A_{{32}}=(-1)^{{3+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}}=-17;$

$A_{{33}}=(-1)^{{3+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\2&-1\end{vmatrix}}=-7;$

Apoi, găsiți matricea asociată , transpuneți -o și înlocuiți-o în formula pentru găsirea matricei inverse .

$C^{{*}}={\begin{pmatrix}-34&7&15\\-5&-2&-19\\9&-17&-7\end{pmatrix}});$

$(C^{{*)))^{{T}}={\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}});$

$A^{{-1}}={\frac {1}{\det A}}\cdot (C^{{*}})^{{T}}$

Înlocuind variabilele din formulă, obținem:

$A^{{-1}}={\frac {1}{-103}}\cdot {\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7 {103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103} }&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}});$

Rămâne de găsit necunoscutul. Pentru a face acest lucru, înmulțim matricea inversă și coloana de termeni liberi.

$X=A^{{-1}}\cdot B;$

$X={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7} {103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}} &{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\ \4\end{pmatrix}}$

Deci x = 2; y=1; z = 4.

Metode de rezolvare a SLAE
Metode directe	Metoda matricei metoda Gauss Metoda Gauss-Iordan Metoda Cramer descompunerea LU Descompunerea Cholesky Metoda de măturare
Metode iterative	metoda Jacobi Metoda Gauss-Seidel Metoda de iterație Metoda de relaxare Metoda gradientului conjugat Metoda gradientului biconjugat Metoda gradientului biconjugat stabilizat
General	matrice inversă Metode de proiecție pentru rezolvarea SLAE Precondiționare