Metoda Ferrari

Metoda Ferrari este o metodă analitică de rezolvare a unei ecuații algebrice de gradul al patrulea , propusă de matematicianul italian Lodovico Ferrari .

Descrierea metodei

Fie ecuația gradului al treilea să aibă forma $patru$

x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

(unu)

If este o rădăcină arbitrară a ecuației cubice $y_1$

y^{3}-by^{2}+(ac-4d)ya^{2}d+4bd-c^{2}=0

(2)

( rezolvenți ai ecuației principale), apoi cele patru rădăcini ale ecuației inițiale se găsesc ca rădăcini a două ecuații pătratice

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}} {4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1 }^{2}}{4}}-d}},

unde expresia radicală din partea dreaptă este un pătrat perfect. Rețineți că discriminanții ecuației inițiale (1) de gradul al patrulea și ecuației (2) coincid.

Reprezentăm ecuația gradului al patrulea sub forma:

Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,

Soluția sa poate fi găsită din următoarele expresii:

\alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},

\beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},

\gamma = -{3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {BD \over 4 A^2} + {E \over A},

dacă , atunci, rezolvând și, făcând o substituție , găsim rădăcinile:

\beta=0

u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0

x=u-{B\peste 4A}

x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2)), \qquad \beta =0

P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,

Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},

R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{{2}} \over 4}+{P^{{3}} \over 27}}}

, (orice semn de rădăcină pătrată va face)

U={\sqrt[ {3}]{R}}

, (trei rădăcini complexe, dintre care una va face)

y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[ {3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cazuri}},

W={\sqrt {\alpha +2y))

x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W }\dreapta)}} \peste 2}.

Aici și sunt doi parametri independenți, fiecare dintre care este fie , fie . Numărul de perechi posibile ale valorilor lor este de patru, iar fiecare pereche produce una dintre cele patru rădăcini ale ecuației originale de gradul al patrulea. Dacă oricare dintre rădăcini este un multiplu de , numărul de perechi de valori care o dau este egal cu gradul multiplicității sale. În funcție de alegere (există o ambiguitate la luarea rădăcinii cubice), rădăcinile se vor potrivi cu perechile într-o ordine diferită.

\pm _{s)

\pm _{t)

+

-

\pm _{s)

\pm _{t)

U

Concluzie

Să existe o ecuație de formă canonică:

\ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0

Să notăm rădăcinile ecuației ca . Pentru rădăcinile ecuației în formă canonică, se va menține următoarea relație: $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:

Această ecuație va avea cel puțin două rădăcini nevalide care vor fi conjugate între ele. Vom presupune că asta

\ x_{3}=-W+iV

\ x_{4}=-W-iV

Și , sunt numere reale. Apoi celelalte două rădăcini pot fi scrise ca $W$ $V$

\ x_{1}=W+iK

\ x_{2}=W-iK

Aici poate fi fie real, fie pur imaginar. Exprimăm a în termenii rădăcinilor ecuației $K$

\ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{ 3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=

\ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^ {2}

Exprimăm K în termeni de coeficienți rămași:

\ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}

\ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2} V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}

\ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0

Total

\ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))})

\ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2 }-K^{2})=

\ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))}

Sau $\ b^{2}=4W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})$

De aici $\ 64W^{6}+32aW^{4}+4(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0$

Înlocuind , obținem rezoluția , rezolvând care, găsim W $\ y=W^{2}$

Istorie

De la vârsta de 15 ani, Luigi Ferrari a fost elevul matematicianului milanez Gerolamo Cardano , care și-a descoperit rapid abilitățile remarcabile. Până atunci, Cardano cunoștea deja un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor cubice ; Ferrari a reușit să găsească o modalitate similară de a rezolva ecuațiile de gradul al patrulea . Cardano a publicat ambii algoritmi în cartea sa High Art.

Metoda Ferrari

Descrierea metodei

Concluzie

Istorie

Vezi și

Link -uri