Visul studentului al doilea (identitate matematică)

La matematică , visul unui student de doi ani sau visul unui student de doi ani ( eng. sophomore - a sophomore în SUA ) este o pereche de identități :

$\int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n)$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n }=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

Istorie

Identități descoperite în 1697 de Johann Bernoulli . Valorile numerice ale acestor constante sunt de aproximativ 1,291285997 și, respectiv, 0,7834305107.

Numele de „visul studentului de doi ani” a apărut mai târziu. Este o referire la „visul bobocului”, care la rândul său înseamnă neidentitatea în glumă (x + y) n = x n + y n . Totuși, spre deosebire de el, visul elevului de doi ani este o pereche de identități adevărate [1] .

Dovada

Dovezile acestor identități sunt complet analoge, așa că doar una dintre ele este prezentată aici.

În primul rând, să ne imaginăm : $x^{x}$

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n)} {n!}}$ .

Apoi

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Prin proprietatea convergenței uniforme a seriei de puteri , suma și integrala pot fi schimbate. Primim:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Pentru a obține integralele prezentate mai sus, înlocuim variabila . După această înlocuire, limitele integrale sunt transformate în , ceea ce ne dă: $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ $0<u<\infty$

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+ 1 )}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$ .

Prin identitatea integrală a lui Euler pentru funcția Gamma :

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$ ,

prin urmare:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!)}}dx=(-1)^{n} ( n+1)^{-(n+1)}$ .

Rezumând și schimbând indexarea (începe cu n=1, nu cu n=0), obținem identitatea dorită.

Versiuni de dovezi

Dovada originală, dată de Bernoulli [2] și prezentată în forma sa modernă [3] , diferă de cea de mai sus în ceea ce privește calculul integralei , dar este de altfel identică cu excepția detaliilor tehnice. În loc să integreze prin substituție folosind funcția Gamma (care nu era încă cunoscută la momentul demonstrării), Bernoulli a folosit integrarea prin părți . $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$

Note

↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H. & Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery , p. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
↑ Johann Bernoulli, 1697, cules în Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
↑ Dunham, William (2005), 3: The Bernoullis (Johann and ), The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue , Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 46–51, ISBN 978-0-691-09565-3 $x^{x}$