Minimalitate (sisteme dinamice)

În teoria sistemelor dinamice , un sistem dinamic este numit minim dacă nu are subsisteme non-triviale ( închise ).

Definiții

Un sistem dinamic se numește minim dacă pentru orice închis $(X,T)$

A\subset X,\quad T(A)=A

este gol sau se potrivește cu toate . $A$ $X$

Deoarece închiderea oricărei orbite este o mulțime invariantă, definiția poate fi reformulată în mod echivalent după cum urmează: un sistem dinamic este minim dacă oricare dintre orbitele sale este densă peste tot .

De asemenea, un subset invariant al spațiului de fază al sistemului se numește un set minim dacă restricția sistemului la acesta este minimă. $Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$ $(X,T)$ $(Y,T|_{Y})$

Proprietăți

Sistemul minimal fie constă dintr-o singură orbită, fie nu are nici puncte fixe, nici orbite periodice.
Difeomorfismul minim al unui cerc este ergodic (teorema Katka-Ehrman).

Exemple

Întorsătura irațională este minimă.
O deplasare a unui vector constant pe tor este minimă dacă și numai dacă coordonatele vectorului de deplasare și unității sunt liniar independente peste . $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n)$ $\mathbb {Q}$
Un difeomorfism de cerc este minim dacă și numai dacă este conjugat la o rotație irațională.
Există un difeomorfism Lebesgue care păstrează măsura torului bidimensional care este minim, dar nu ergodic ( exemplul lui Fürstenberg ).

Literatură

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. - M .: MTSNMO , 2005. - S. 42. - 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .