Grupul Coxeter

Grupul Coxeter este un grup generat de reflexiile din fețele unui poliedru -dimensional , în care fiecare unghi diedru este parte integrantă a (adică egal cu pentru un număr întreg ). Astfel de poliedre sunt numite poliedre Coxeter . Grupurile Coxeter sunt definite pentru poliedre în spațiul euclidian , pe o sferă și, de asemenea, în spațiul Lobachevsky . $n$ $\pi$ $\pi /k$ $k$

Exemple

Grupările Coxeter finite sunt izomorfe, în special, cu grupurile Weyl ale algebrelor Lie simple.
Poliedre Coxeter în spațiul euclidian de dimensiune : $n$
- $n$ -cub dimensional de dimensiune arbitrară.
- $n$ -simplex dimensional format din puncte cu coordonate astfel încât . $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1$
Poliedre Coxeter în sfera unitară a dimensiunii : $n$
- simplex-dimensional regulat cu latura . $n$ $\pi/2$
Poliedre Coxeter în spațiile Lobachevsky:
- Poligon regulat cu unghi . $k$ $\pi/m$
- Dodecaedru dreptunghiular regulat în dimensiune . $3$
- O sută douăzeci de celule dreptunghiulare obișnuite în dimensiune . $patru$

Proprietăți

Grupurile Coxeter sunt descrise și clasificate folosind diagramele Coxeter-Dynkin .
Poliedrul Coxeter este domeniul fundamental al grupului Coxeter.
- În special, politopul Coxeter teselează spațiul .
- În special, orice grup euclidian Coxeter este un exemplu de grup de puncte .
teorema lui Vinberg. [1] În spațiile Lobachevsky, toate dimensiunile suficient de mari ale poliedrelor Coxeter mărginite nu există.
Poliedrele Coxeter sferice sunt simplexe.
Politopii Coxeter sunt simpli .
Notați prin reflexii în fețele poliedrului și fie unghiul diedru dintre fețele și . Fie , dacă fețele nu formează un unghi diedru în poliedru, și . Apoi grupul Coxeter poate fi definit după cum urmează: $\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}$ $\pi/m_{ij}$ $i$ $j$ $m_{ij}=\infty$ $m_{ii}=1$ $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Variații și generalizări

Grupurile Coxeter sunt, de asemenea, o generalizare a clasei de grupuri descrise mai sus, definite folosind atribuirea : $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$ ,

unde si la .

m_{ii}=1

m_{ij}\geqslant 2

i\neq j

Vezi și

Note

↑ E. B. Vinberg , Grupuri de reflexie hiperbolice

Literatură

HSM Coxeter. Grupuri discrete generate de reflecții // Analele matematicii . - 1934. - Vol. 35 . - P. 588-621 . - doi : 10.2307/1968753 .