Set Danzer

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 ianuarie 2022; verificările necesită 9 modificări . Probleme nerezolvate în matematică : Există o mulțime Danzer cu densitate mărginită sau grad de separare mărginit?

Setul Danzer este setul de puncte care atinge orice corp convex al unității de volum. Ludwig Danzer a întrebat dacă un astfel de set de densități mărginite este posibil [1] [2] . Unele variante ale problemei rămân nerezolvate.

Densitate

O modalitate de a formula problema mai formal este de a lua în considerare rata de creștere a unei mulțimi în spațiu euclidian -dimensional, definită ca o funcție care mapează numerele reale la puncte care sunt la o distanță de origine . Întrebarea lui Danzer este dacă o mulțime Danzer poate avea o rată de creștere , rata de creștere a unor seturi de puncte complet distanțate, similar cu o rețea de numere întregi (care nu este o mulțime Danzer) [2] . $S$ $d$ $r$ $S$ $r$ $O(r^{d})$

Este posibil să construiți un set Danzer cu o rată de creștere în cadrul unui coeficient semi-log . De exemplu, la impunerea unor grile dreptunghiulare, ale căror celule au un volum constant, dar proporții diferite , se poate realiza o rată de creștere [3] . Sunt cunoscute construcții ale seturilor Danzer cu o rată de creștere puțin mai mică , dar răspunsul la întrebarea lui Danzer rămâne necunoscut [4] . $O(r^{d})$ $O(n^{d}\log ^{d-1}n)$ $O(r^{d}\log r)$

Acoperire limitată

O altă versiune a problemei, propusă de Timothy Gowers , întreabă dacă există o mulțime Danzer pentru care există o limită finită a numărului de puncte de intersecție și orice corp convex de unitate de volum [5] . Această variantă a fost rezolvată — un astfel de set Danzer este imposibil [6] . $S$ $C$ $S$

Separare

A treia versiune a problemei, care rămâne nerezolvată, este problema muștei moarte Conway . Conway, John Horton și-a amintit că, în copilărie, dormea într-o cameră cu tapet care arăta ca o grămadă de muște moarte și a încercat să găsească o zonă bombată care să nu conțină muște [7] . În formularea lui Conway, întrebarea este dacă există un set Danzer în care punctele setului (muștele moarte) sunt separate unele de altele printr-o distanță limitată. Un astfel de set va avea neapărat o limită superioară a distanțelor de la fiecare punct al avionului până la musca moartă (pentru a atinge toate punctele cercului de unitate de suprafață), așa că trebuie să formeze o mulțime Delaunay , o mulțime care are atât o limită inferioară diferită de zero, cât și o distanță finită între puncte. Acest set va avea neapărat o rată de creștere , deci dacă există, atunci trebuie să rezolve și versiunea originală a problemei Danzer. Conway a oferit un premiu de 1000 USD pentru rezolvarea problemei [8] ca parte a unui set de probleme care include, de asemenea , problema graficului cu 99 de vârfuri a lui Conway , analiza jocului de monede și conjectura trackle [8] . $O(r^{d})$

Proprietăți suplimentare

De asemenea, se pot restricționa clasele de seturi de puncte care pot servi ca seturi Danzer în alte moduri. În special, ele nu pot fi uniunea unui set finit de rețele [3] , nu pot fi formate prin alegerea unui punct din fiecare țiglă de substituție (în aceeași poziție pentru fiecare țiglă de același tip) și nu pot fi generate prin tăiere -și-proiect de construcție a mozaicurilor aperiodice . Prin urmare, vârfurile plăcilor „Pinwheel” și plăcilor Penrose nu sunt seturi Danzer [4] .

Vezi și

Problema Heilbronn pe triunghiuri pe setul de puncte care nu au o zonă mică.
Teorema lui Minkowski conform căreia orice corp convex închis de unitate de volum cu un centru de simetrie la origine conține un număr diferit de zero de puncte ale unei rețele semiîntregi.

Note

↑ Fenchel, 1967 , p. 308–325 Problema 6 (Danzer).
↑ 1 2 Croft, Falconer, Guy, 1991 , p. 148.
↑ 1 2 Bambah, Woods, 1971 , p. 295–301.
↑ 1 2 Solomon, Weiss, 2016 , p. 1053–1074.
↑ Gowers, 2000 , p. 79–117.
↑ Solan, Solomon, Weiss, 2017 , p. 6584–6598.
↑ Roberts, 2015 , p. 382.
↑ 12 Conway , 2017 .

Literatură

John Horton Conway . Cinci probleme de 1.000 USD . — Enciclopedia on-line a secvențelor întregi , 2017.. Vezi șiModel:OEIS el.
Bambah RP, Woods AC Despre o problemă a lui Danzer // Pacific Journal of Mathematics. - 1971. - T. 37 .
Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, Richard K. Guy . E14: Poziţionarea mulţimilor convexe în raport cu mulţimile discrete // Probleme nerezolvate în geometrie . - Springer-Verlag, New York, 1991. - P. 148 . — (Cărți cu probleme în matematică). — ISBN 0-387-97506-3 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0963-8 .
Werner Fenchel . Probleme // Proceedings of the Coloquium on Convexity, Copenhaga, 1965. - Copenhaga: Kobenhavns Universitets Matematiske Institut, 1967.
Structura brută și clasificare // Analiză geometrică și funcțională. - 2000. - Emisiune. Volumul special, Partea I. - doi : 10.1007/978-3-0346-0422-2_4 .
Siobhan Roberts. Geniu în joc: Mintea curioasă a lui John Horton Conway . - New York: Bloomsbury Press, 2015. - ISBN 978-1-62040-593-2 .
Omri Solan, Yaar Solomon, Barak Weiss. Despre problemele lui Danzer și Gowers și dinamica în spațiul submulților închise ale // International Mathematics Research Notices. - 2017. - Emisiune. 21 . - doi : 10.1093/imrn/rnw204 . - arXiv : 1510.07179 . $\mathbb{R}^d$
Yaar Solomon, Barak Weiss. Păduri dese și decoruri Danzer // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 2016. - T. 49 , nr. 5 . - doi : 10.24033/asens.2303 . - arXiv : 1406.3807 .