Mozaic "Rotinul"

Tigla cu roți este o placare non- periodica proiectată de Charles Radin și bazată pe o construcție a lui John Conway . Mozaicul a fost primul mozaic neperiodic în care plăcile sunt într-un număr infinit de orientări diferite.

Tigla lui Conway

Fie un triunghi dreptunghic cu laturile , și . Conway a observat că poate fi împărțit în cinci copii egale cu el după întindere cu un factor .

Cu scalarea și translația/rotația corespunzătoare, această operație poate fi repetată pentru a produce o secvență în creștere infinită de triunghiuri crescătoare formate din copii ale . Combinând toate aceste triunghiuri, rezultă un mozaic al întregului plan cu copii identice .

În acest mozaic, copiile sunt orientate într-un număr infinit de direcții diferite (aceasta este o consecință a faptului că unghiurile și triunghiurile nu sunt proporționale cu ). În ciuda acestui fapt, toate vârfurile triunghiului au coordonate raționale.

Mozaic „Pinwheel”

Radin, bazându-se pe construcția de mai sus a lui Conway, a propus un mozaic „pinwheel”. În mod oficial, o placă roată este o plăci ale cărei plăci sunt copii de dimensiuni egale ale unui triunghi și o placă se poate intersecta cu o altă placă numai de-a lungul laturii întregi sau de-a lungul jumătății laturii cu lungimea , iar următoarea proprietate trebuie să fie valabilă. Având în vedere un pinwheel , există un pinwheel care, dacă împărțim toate plăcile în cinci părți conform construcției lui Conway și apoi extindem cu un factor , va fi același cu . Cu alte cuvinte, plăcile de mozaic pot fi grupate în cinci pentru a produce plăci similare (geometric) în așa fel încât aceste plăci mărite să formeze (până la scalare) o nouă placă „pinwheel”.

Mozaicul proiectat de Conway este un „pinwheel”, dar există nenumărate alte „pinwheels”. Toate aceste plăci nu se pot distinge la nivel local ( adică au aceleași regiuni de capăt). Toate păstrează proprietatea comună cu placarea Conway că plăcile au un număr infinit de orientări diferite (și vârfurile au coordonate raționale).

Principalul rezultat dovedit de Radin este că există un set finit (deși foarte mare) de așa-numitele prototile, care sunt obținute prin colorarea laturilor . Atunci tiling-urile roată sunt exact acele plăci care se obțin din copii (de dimensiuni egale) ale acestor prototile cu condiția ca plăcile să se atingă doar de aceleași culori [1] .

Generalizări

Radin și Conway au propus un analog 3D care a duplicat placarea domului [2] [3] .

Puteți obține un fractal dacă împărțiți secvențial în cinci triunghiuri identice conform construcției lui Conway și aruncați triunghiul din mijloc ( la infinit ). Acest fractal „pinwheel” are dimensiunea lui Hausdorff .

Utilizare în arhitectură

Complexul de clădiri din Federation Square din Australia folosește un mozaic „pinwheel”. Proiectul a folosit mozaicuri pentru a crea cadrele structurale ale fațadei, permițând ca acestea să fie realizate într-o fabrică și apoi asamblate la fața locului. Mozaicul are la bază elemente triunghiulare din zinc, zinc perforat, gresie și sticlă, care sunt legate de alte 4 părți pe un cadru de aluminiu pentru a forma un „panou”. Cinci panouri au fost montate pe un cadru din oțel galvanizat, formând un „mega-panou”, care a fost apoi ridicat și instalat pe cadrul portant al fațadei. Poziția de rotație a plăcilor conferă fațadei un aspect mai aleatoriu, deși întregul proces de asamblare se bazează pe plăci pre-preparate de aceeași dimensiune. Același mozaic „pinwheel” este folosit în construcția „Atriului” din Piața Federației, deși în acest caz mozaicul a fost realizat „3-dimensional” pentru a forma structura intrării principale.

Note

1. ↑ Radin, 1994 , p. 661–702.
2. ↑ Radin, Conway, 1998 , p. 179-188.
3. ↑ Sadun, 1998 , p. 79–110.

Literatură

• C. Radin. The Pinwheel Tilings of the Plane // Analele matematicii . - 1994. - T. 139 , nr. 3 (mai) . - doi : 10.2307/2118575 . — .
• C. Radin, J. Conway. Tiling cvaversal și rotații // Inventiones math. - 1998. - Emisiune. 132 .
• L. Sadun. Câteva generalizări ale plăcilor cu rotiță. - 1998. - T. 20 , nr. 1 . - doi : 10.1007/pl00009379 .

Link -uri

• Pinwheel la Enciclopedia Tilings
• Dynamic Pinwheel realizat în GeoGebra