Problemă cu acul

Problema acului este de a determina aria minimă a unei figuri pe un plan în care un singur segment, „acul”, poate fi rotit la 180 de grade, revenind la poziția inițială cu o orientare inversă. Acest lucru se poate face într-un cerc cu o rază de 1/2. Un alt exemplu - o figură delimitată de un deltoid - este prezentat în imagine, are o zonă mai mică.

Se pare că este posibil să construiți o figură cu o suprafață arbitrar mică.

Istorie

Această întrebare a fost luată în considerare de Kakeya . El a demonstrat că pentru regiunile convexe , aria minimă este atinsă de un triunghi echilateral cu înălțimea 1. Aria sa este [1] .

Poate că Kakeya a emis și ipoteza că o figură delimitată de un deltoid , ca în figură, are cea mai mică zonă. Această afirmație a fost respinsă de Besikovici .

Setul Besicovitch

Besikovici a construit un set compact de măsură zero care conține un segment unitar în orice direcție.

Din aceasta rezultă cu ușurință că acul poate fi desfășurat într-o figură cu o zonă arbitrar mică. Într-adevăr, este ușor de observat că cercul unitar poate fi împărțit în sectoare și plasat într-o vecinătate arbitrar de mică a mulțimii printr-o translație paralelă .

Rețineți că segmentul unității poate fi mutat pe o linie paralelă într-o figură cu o zonă arbitrar mică. Prin urmare, rotind un segment într-un sector, acesta poate fi târât în ​​următorul, trecând printr-un set de suprafețe arbitrar mici; repetand aceasta operatie de mai multe ori obtinem tura ceruta.

Variații și generalizări

• În construcția lui Besikovici, deoarece aria unei figuri tinde spre zero, diametrul acesteia tinde spre infinit. În 1941, H.J. Van Alphen a arătat [2] că un ac poate fi desfășurat într-o figură cu o suprafață arbitrar mică, care se află în interiorul unui cerc cu o rază de 2 + ε (pentru un arbitrar ε > 0).

• Există pur și simplu conectate seturi adecvate (în care acul poate fi rotit) cu o zonă mai mică decât cea a figurii delimitate de deltoid.
  • Astfel de exemple au fost găsite în 1965. Melvin Bloom și I. Yu. Schoenberg au arătat că zona lor poate fi făcută în mod arbitrar aproape de .
  • În 1971, Cunningham a arătat [3] că pentru orice ε > 0 există o figură conexă pur și simplu potrivită cu aria mai mică decât , conținută într-un cerc cu raza 1.

• Definim o mulțime Besicovitch în R n ca o mulțime de măsură zero care conține un segment de unitate în orice direcție (o astfel de mulțime este numită și o mulțime Kakeya sau o mulțime Kakeya). Așa-numita conjectura Kakeya afirmă că mulțimile Besicovitch au dimensiunea n (după Hausdorff și după Minkowski ), adică egală cu dimensiunea spațiului ambiental.
  • Conjectura lui Kakei este adevărată în dimensiunile 1 și 2 [4] .
  • Wolff a arătat [5] că într-un spațiu n -dimensional dimensiunea mulțimii Besicovitch trebuie să fie de cel puțin ( n + 2)/2.
  • În 2002, Katz și Tao au îmbunătățit estimarea lui Wolff [6] arătând că dimensiunea nu poate fi mai mică de . Această estimare este mai bună pentru n > 4.

• Definim o mulțime ( n , k )-Besicovitch ca o mulțime compactă în R n de măsură zero care conține în fiecare direcție k-dimensională un disc unitar k -dimensional.Conjectura despre multimile ( n , k )-Besicovitch: ( n , k )-multimile Besicovitch nu exista pentru k > 1.
  • În 1979, Marstrand a demonstrat [7] că nu există un set (3, 2)-Besicovitch.
  • Aproximativ în același timp, Faulkner a demonstrat [8] că nu există mulțimi ( n , k ) pentru 2 k > n .
  • Cea mai bună estimare de până acum îi aparține lui Bourgain, care a demonstrat [9] că mulțimile cu 2 k -1 + k > n nu există.

• În 1997 [10] și 1999 [11] , Wolff a demonstrat că mulțimile care conțin o sferă de orice rază trebuie să aibă dimensiunea completă, adică dimensiunea spațiului ambiental.

• Elias Stein a demonstrat [12] că orice mulțime care conține o sferă în jurul fiecărui punct trebuie să aibă măsură pozitivă pentru n ≥ 3, iar Marstrand a demonstrat același lucru [13] pentru cazul n = 2.

• În 1999, Wolff a formulat un analog al problemei acului pentru câmpuri finite . Fie F  un câmp finit. O mulțime K ⊆ F n se numește mulțime Besicovitch dacă pentru fiecare vector y ∈ F n există x ∈ F n astfel încât K conține toți vectorii de forma { x + ty  : t ∈ F }.

• Problemă cu ac în spațiu peste un câmp finit : Numărul de elemente din K este de cel puțin c n | F | n , unde c n >0 este o constantă care depinde numai de n .
• Dvir [14] [15] a demonstrat această presupunere pentru c n = 1/ n ! folosind următorul argument. Dvir a observat că orice polinom cu n variabile de grade mai mici decât | F |, care este egal cu zero pe mulțimea Besicovitch, trebuie să fie identic egal cu zero. Pe de altă parte, polinoamele cu n variabile de grad mai mici decât | F | formează un spațiu vectorial de dimensiune

Prin urmare, există cel puțin un polinom netrivial de grad mai mic decât | F |, care este egal cu zero pe o mulțime arbitrară cu un număr mai mic de puncte. Prin urmare, setul Besikovici trebuie să aibă cel puțin | F | n / n ! puncte. Dvir a scris o lucrare de recenzie despre această problemă. [paisprezece]

Aplicații

• În 1971, Fefferman a folosit [16] construcția setului Besicovitch pentru a arăta că, în dimensiuni mai mari de 1, integralele Fourier trunchiate preluate de bile centrate la origine cu raze care tind spre infinit pot să nu convergă în norma L p la p ≠ 2 (spre deosebire de cazul unidimensional, în care astfel de integrale trunchiate converg).

Vezi și

• Deltoid
• Problema Lebesgue
• O mulțime de Nicodim

Note

1. ↑ Pal, Julius. Ueber ein elementares variationsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1–35.
2. ↑ Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
3. ↑ Cunningham, F. Problema Kakeya pentru seturi simplu conectate și pentru seturi în formă de stea // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, nr. 2. - S. 114-129. - doi : 10.2307/2317619 .
4. ↑ Davies, Roy. Câteva observații despre problema Kakeya // Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1971. - T. 69, nr. 3. - S. 417-421. - doi : 10.1017/S0305004100046867 .
5. ↑ Wolff, Thomas. O limită îmbunătățită pentru funcțiile maxime de tip Kakeya // Rev. Mat. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. - doi : 10.4171/rmi/188 .
6. ↑ Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. Noi limite pentru problemele Kakeya // J. Anal. Matematică.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. - doi : 10.1007/BF02868476 .
7. ↑ Marstrand, JM Packing Planes in R 3 // Mathematika. - 1979. - T. 26, nr. 2. - S. 180-183. - doi : 10.1112/S0025579300009748 .
8. ↑ Falconer, KJ Proprietățile de continuitate ale integralelor k-plane și ale mulțimilor Besicovitch // Matematică. Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1980. - T. 87, nr. 2. - S. 221-226. - doi : 10.1017/S0305004100056681 .
9. ↑ Bourgain, Jean . Operatori maximali de tip Besicovitch și aplicații la analiza Fourier // Geom. Funct. Anal.. - 1997. - Vol. 1, numărul. 2. - S. 147-187. - doi : 10.1007/BF01896376 .
10. ↑ Wolff, Thomas. O problemă Kakeya pentru cercuri // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119, nr. 5. - S. 985-1026. - doi : 10.1353/ajm.1997.0034 .
11. ↑ Wolff, Thomas (1999).
12. ↑ Stein, Elias. Funcții maxime: Mijloace sferice // PNAS. - 1976. - T. 73, nr. 7. - S. 2174-2175. - doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482
13. ↑ Marstrand, JM Packing circles in the plane // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37–58. - doi : 10.1112/plms/s3-55.1.37 .
14. ↑ 1 2 Dvir, Zeev (2009).
15. ↑ Dovada lui Dvir a câmpului finit Conjectura Kakeya Arhivată 3 mai 2016 la Wayback Machine // Terence Tao (2008-03-24).
16. ↑ Fefferman, Charles. Problema multiplicatorului pentru minge // Analele matematicii. - 1971. - T. 94, nr. 2. - S. 330-336. - doi : 10.2307/1970864 .

Literatură

• Yaglom IM , Boltyansky VG Cifre convexe . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 p. - (Biblioteca cercului matematic, numărul 4).

• Besicovitch, Abram (1963). „Problema Kakeya”. American Mathematical Monthly 70 (7): 697-706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .

• Dvir, Zeev (2009). „Pe dimensiunea seturilor Kakeya în câmpuri finite”. Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093-1097. arXiv : 0803.2336 . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). Geometria seturilor fractale . Cambridge Tracts in Mathematics 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). „Câteva probleme la maxim și minim la ovale”. Rapoarte științifice Tohoku 6 : 71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Isabella; Tao, Terence (2000). „O legătură îmbunătățită asupra dimensiunii Minkowski a lui Besicovitch se instalează ” (PDF). Analele matematicii 152 (2): 383-446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 .
• Wolff, Thomas (1999). „Lucrări recente legate de problema Kakeya”. În Rossi, Hugo. Perspective în matematică: discuții invitate cu ocazia celei de-a 250-a aniversări a Universității Princeton . Providence, RI: Societatea Americană de Matematică. pp. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Isabella; Shubin, Carol, eds. Prelegeri despre analiza armonică . Seria de prelegeri universitare 29 . Cu o prefață de Charles Fefferman și prefață de Izabella Łaba. Providence, RI: Societatea Americană de Matematică. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254 .
• Problema Kakeya și conexiunile cu analiza armonică de la Universitatea din Columbia Britanică.
• Besicovitch la UCLA
• Problemă cu acul Kakeya la mathworld
• O introducere în seturile Besicovitch-Kakeya