Modelul Black-Scholes

Modelul de preț al opțiunilor Black-Scholes ( OPM ) este un model care determină prețul teoretic al opțiunilor europene , ceea ce implică faptul că, dacă activul suport este tranzacționat pe piață, atunci prețul opțiunii de pe acesta este implicit deja stabilit de el însuși. . Acest model a fost utilizat pe scară largă în practică și, printre altele, poate fi folosit și pentru a evalua toate instrumentele derivate, inclusiv warrant -urile, titlurile convertibile și chiar pentru a evalua capitalul propriu al firmelor dependente financiar.

Conform modelului Black-Scholes, elementul cheie în determinarea valorii unei opțiuni este volatilitatea așteptată a activului suport. În funcție de fluctuația activului, prețul acestuia crește sau scade, ceea ce afectează direct valoarea opțiunii în direct proporțional. Astfel, dacă valoarea opțiunii este cunoscută, este posibil să se determine nivelul de volatilitate așteptat de piață [1] .

Istorie

Formula modelului de stabilire a prețului opțiunilor a fost dezvoltată pentru prima dată de Fisher Black și Myron Scholes în 1973 în The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Cercetările lor s-au bazat pe lucrările anterioare ale lui Jack Traynor , Paul Samuelson , James Bones, Sheen Kassoufși Edward Thorpe și au fost dezvoltate într-o perioadă de creștere rapidă a tranzacționării cu opțiuni.

Cele șapte ipoteze ale teoriei

Pentru a-și deriva modelul de preț al opțiunilor , Black și Scholes au făcut următoarele ipoteze:

Valorile mobiliare ( activul de bază ) sunt tranzacționate continuu, iar comportamentul prețului acestora urmează un model geometric de mișcare brownian cu parametri cunoscuți (în special, acești parametri sunt constanți pe toată durata de viață a opțiunii).
Activul de bază al opțiunii nu plătește dividende pe toată durata opțiunii.
Nu există costuri de tranzacție asociate cu cumpărarea sau vânzarea unei acțiuni sau a unei opțiuni.
Rata dobânzii fără risc pe termen scurt este cunoscută și este constantă pe toată durata de viață a opțiunii.
Orice cumpărător al unui titlu poate împrumuta la o rată fără risc pe termen scurt pentru a plăti orice parte din prețul acesteia.
Vânzarea în lipsă este permisă fără restricții, iar vânzătorul va primi imediat toți banii pentru titlul scurtat la prețul de astăzi.
Nu există nicio oportunitate de arbitraj .

Deducerea modelului se bazează pe conceptul de acoperire fără riscuri . Cumpărând acțiuni și vânzând simultan opțiuni de cumpărare pentru acele acțiuni, un investitor poate construi o poziție fără risc în care profiturile pe acțiuni vor compensa exact pierderile pe opțiuni și invers.

O poziție acoperită fără risc trebuie să câștige un randament la o rată egală cu rata dobânzii fără risc, altfel ar exista o oportunitate de arbitraj, iar investitorii care încearcă să profite de această oportunitate ar aduce prețul opțiunii la nivelul de echilibru care este determinat de model.

Formule

Prețul opțiunii de apelare :

C=SN(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2}),

Unde

d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{X)})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T)))),

d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T)).

preț opțiune de vânzare :

P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).

Denumiri:

$C$ — prețul opțiunii de cumpărare ;
$S$ — prețul curent al activului suport (la vedere);
$N(x)$ este funcția de distribuție cumulată a distribuției normale standard;
$X$ — prețul de exercitare a opțiunii (strike);
$r$ — rata dobânzii fără risc;
$T$ - timpul până la expirarea opțiunii;
$\sigma$ — volatilitatea randamentului activului suport.

„Grecii”

Pentru a caracteriza sensibilitatea prețului (premiei) unei opțiuni la o modificare a anumitor valori, se folosesc diverși coeficienți, numiți „greci”. Numele provine din alfabetul grecesc , ale cărui litere denotă acești coeficienți (cu excepția lui "vega"). „Grecii” în cadrul modelului Black-Scholes sunt calculati în mod explicit:

"greacă"	Reprezentare derivată parțială	opțiuni de apel	opțiuni de vânzare
delta	${\frac {\partial c}{\partial S))$	$N(d_{1})$	$-N(-d_{1})=N(d_{1})-1$
gamma	${\frac {\partial ^{2}c}{\partial S^{2))}$	${\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T}))}$
vega [2] [3]	${\frac {\partial c}{\partial \sigma ))$	$SN'(d_{1}){\sqrt {T}}$
teta	${\frac {\partial c}{\partial t))$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma {2{\sqrt {T}))) -rKe^{-r(T)}N(d_{2})$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma {2{\sqrt {T})))+rKe^{-r(T)}N(-d_{2})$
ro [3]	${\frac {\partial c}{\partial r))$	$K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(d_{2})$	$-K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(-d_{2})$

În special, formulele gamma și vega sunt aceleași pentru put și call, care este o derivație logică a teoriei parității put și call .

De exemplu, cunoașterea coeficienților delta și gamma face posibilă estimarea modificării prețului (premiei) unei opțiuni atunci când prețul instrumentului financiar subiacent se modifică : $\Delta$ $\Gamma$ $\delta c$ $\delta S$

\delta c\approx \Delta \cdot \delta S+\Gamma \,{\frac {(\delta S)^{2}}{2}}.

Această formulă se obține prin extinderea prețului opțiunii într- o serie Taylor . De asemenea, cu cât teta este mai mare, cu atât scaderea în timp a opțiunii este mai rapidă și așa mai departe. $c(S)$

Modelul Merton

Modelul Merton decurge direct din modelul Black-Scholes , care permite modelarea valorii capitalurilor proprii ale companiei pe baza valorii valorii firmei si a datoriei acesteia, prezentate sub forma unei obligatiuni zero-cupon [4] . În acest caz, acțiunile S sunt reprezentate ca o opțiune de cumpărare lungă pe valoarea totală a companiei V cu un preț de exercitare al obligațiunii cu cupon zero F:

$S=max(VF,0)$

Datoria D, la rândul său, este reprezentată ca un portofoliu fie long pe cuponul zero F și short put pe acțiunile companiei V la prețul de exercitare F, fie long pe capitalul propriu al companiei V și short call pe V la strike F:

$D=F-max(FV,0)=V-max(VF,0)$

Note

↑ Roger Lowenstein, „When genious failed” capitolul 7 „Bank of volatility”, p.124
↑ Nu o literă greacă.
↑ 1 2 așa-numitul bastard grec. Nu există o traducere în limba rusă pentru acest termen, sensul este că diferențierea se realizează în funcție de parametru, care a fost considerat o constantă la derivarea formulei. Prin urmare, utilizarea grecilor bastard poate duce la erori grave în tranzacționare și managementul riscurilor.
↑ Rene M. Stulz. Capitolul 18: Riscuri de credit și derivate de credit // Managementul riscurilor și instrumente derivate. — Consorțiu, 1999.

Literatură

Negru, Fischer; Myron Scholes. Prețul opțiunilor și pasivelor corporative // Journal of Political Economy : jurnal. - 1973. - Vol. 81 , nr. 3 . - P. 637-654 . - doi : 10.1086/260062 . [unu]
Merton, Robert C. Teoria prețurilor opțiunilor raționale // Bell Journal of Economics and Management Science : jurnal. - The RAND Corporation, 1973. - Vol. 4 , nr. 1 . - P. 141-183 . - doi : 10.2307/3003143 . — .
Hull, John C.Opțiuni, futures și alte instrumente derivate. - Prentice Hall , 1997. - ISBN 0-13-601589-1 .