Modelul cu electroni liberi

Modelul cu electroni liberi , cunoscut și sub denumirea de model Sommerfeld sau model Drude-Sommerfeld, este un model cuantic simplu al comportamentului electronilor de valență într-un atom de metal , dezvoltat de Arnold Sommerfeld pe baza modelului Drude clasic , luând în considerare modelul Fermi. -Dirac statistica mecanică cuantică. Electronii metalului sunt tratați în acest model ca un gaz Fermi .

Diferența dintre modelul Sommerfeld și modelul Drude este că nu toți electronii de valență ai metalului participă la procesele cinetice, ci doar cei care au energie în intervalul energiei Fermi , unde este constanta Boltzmann , T este temperatura. Această limitare provine din principiul Pauli , care interzice electronilor să aibă aceleași numere cuantice . În consecință, la temperaturi finite, stările de energie scăzută sunt umplute, ceea ce împiedică electronii să-și schimbe energia sau direcția de mișcare. $k_{B}T$ $k_B$

În ciuda simplității sale, modelul explică multe fenomene diferite, inclusiv:

legea Wiedemann-Franz ;
dependența de temperatură a capacității termice ;
conductivitate electrică ;
emisie termoionică ;
forma densității stărilor electronilor;
gama de energii de legare.

Principalele idei și ipoteze

Dacă în modelul Drude electronii unui metal au fost împărțiți în legați și liberi, atunci în mecanica cuantică, datorită principiului identității particulelor, electronii sunt colectivizați și aparțin întregului corp solid. Miezurile atomilor de metal formează o rețea cristalină periodică, în care, conform teoremei lui Bloch, stările electronilor sunt caracterizate de un cvasi-impuls . Spectrul de energie al electronilor metalici este împărțit în zone, dintre care cea mai importantă este banda de conducție parțial umplută formată din electroni de valență.

Modelul lui Sommerfeld nu specifică legea de dispersie pentru electroni în banda de conducere, presupunând doar că abaterile de la legea dispersiei parabolice pentru particulele libere sunt nesemnificative. În aproximarea inițială, teoria neglijează interacțiunea electron-electron, considerând electronii ca un gaz ideal. Cu toate acestea, pentru a explica procesele cinetice, cum ar fi conductivitatea electrică și termică, împrăștierea electronilor unul pe altul, vibrațiile rețelei cristaline și defectele, trebuie luate în considerare. Când luăm în considerare aceste fenomene, este important să cunoaștem distribuția de energie a particulelor. Prin urmare, ecuația Boltzmann este utilizată pentru a descrie cinetica electronilor . Câmpul electrostatic din interiorul conductorului este considerat a fi slab din cauza ecranării.

Energia și funcția de undă a unui electron liber

Ecuația Schrödinger pentru un electron liber are forma [1] [2] [3]

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)

Funcția de undă poate fi împărțită în părți spațiale și temporale. Soluția ecuației dependente de timp este $\Psi (\mathbf {r} ,t)$

\Psi (\mathbf {r},t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t)

cu energie

E=\hbar \omega

Soluția părții spațiale, independentă de timp este

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r)}})e^{i\mathbf {k} \ cdot \mathbf {r} }

cu vector de val . au volumul spațiului în care poate fi un electron. Energia cinetică a unui electron este dată de ecuația: $\mathbf {k}$ $\Omega _{r)$

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

Soluția undelor plane a acestei ecuații Schrödinger este

\Psi (\mathbf {r},t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r)}})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

Fizica stării solide și fizica materiei condensate se ocupă în principal de soluția independentă de timp . $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

Luând în considerare periodicitatea rețelei cristaline conform teoremei Bloch, această funcție se schimbă în

\Psi (\mathbf {r},t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r)}})\phi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf { k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

unde este o funcție periodică. Dependența energiei de vectorul valului se modifică și ea. Pentru a ține cont de aceste modificări, se folosesc pe scară largă diverse modele hamiltoniene, de exemplu: aproximarea electronilor aproape liberi, aproximarea cuplajului strâns și așa mai departe. $\phi (\mathbf {r} )$

Fermi energie

Principiul Pauli interzice electronilor să aibă funcții de undă cu aceleași numere cuantice. Pentru un electron descris de o undă Bloch, cvasi-impulsul și spinul sunt numere cuantice. Starea fundamentală a gazului de electroni corespunde situației în care toate stările unui electron cu cea mai mică energie sunt umplute până la o anumită energie , care se numește energia Fermi. Pentru zona parabolica, energia este data ca $E_F$

E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

o astfel de umplere înseamnă că toate stările cu un vector de undă mai mic de , , care se numește vector de undă Fermi, sunt ocupate. Vectorul Fermi este $|\mathbf {k} |<k_{F}$ $ce faci}$

k_{F}=(3\pi ^{2}N_{e}/V)^{1/3}

unde este numărul total de electroni din sistem și V este volumul total. Apoi energia Fermi $N_e$

E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N_{e}}{V}}\right)^ {2/3}

În aproximarea electronilor aproape liberi , metalul de valență ar trebui înlocuit cu , unde este numărul total de ioni de metal. $Z$ $N_e$ $NZ$ $N$

Distribuția de energie a electronilor

La o temperatură diferită de zero, subsistemul electronic al metalului nu este în starea fundamentală, totuși diferența va rămâne relativ mică dacă , ceea ce este de obicei cazul. Probabilitatea ca o stare de un electron cu energia E să fie ocupată este dată de funcția Fermi $k_{B}T\ll E_{F}$

f(E)={\frac {1}{e^{(E-E_{F})/k_{B}T}+1}}

unde este nivelul Fermi. La temperatura zero absolut , unde este potentialul chimic . $E_{F}$ $E_{F}=\mu$ $\mu$

Predicțiile teoriei

Modelul vă permite să descrieți corect o serie de proprietăți ale metalelor și modificările acestora asociate cu temperatura.

Capacitate termică

Când este încălzită, energia este transferată către electronii metalului. Cu toate acestea, electronii a căror energie este mai mică decât energia Fermi nu își pot schimba starea. Pentru a face acest lucru, ar trebui să treacă într-o stare cu o energie mai mare, care este deja ocupată cu o probabilitate mare de un alt electron, iar principiul Pauli interzice acest lucru. Prin urmare, numai electronii cu energii apropiate de energia Fermi pot primi energie. Există puțini astfel de electroni, aproximativ . Prin urmare, la temperaturi ridicate, contribuția subsistemului electronic la capacitatea termică a metalului este mică în comparație cu contribuția atomilor rețelei cristaline. $N_{e}k_{B}T/E_{F}\ll N_{e}$

Situația se schimbă la temperaturi scăzute, mai mici decât temperatura Debye , când capacitatea termică a rețelei este proporțională cu , în timp ce capacitatea termică a subsistemului electronic este proporțională cu . Atunci domină contribuția electronilor la capacitatea termică, iar capacitatea termică a metalului, spre deosebire de dielectrici, este proporțională cu temperatura. $T^{3}$ $T$

Conductivitate electrică

Modelul Sommerfeld a ajutat la depășirea problemei modelului Drude cu valoarea căii libere medii a electronilor. În modelul Drude, densitatea curentului electric este dată de formula

\mathbf {j} =n{\frac {e^{2}\tau {m}}\mathbf {E}

unde este densitatea electronică și este timpul de relaxare. Dacă este egal cu numărul de electroni de valență dintr-un solid, atunci pentru a obține valori reale ale conductivității metalelor, timpul de relaxare și, prin urmare, calea electronilor, trebuie să fie mic, ceea ce contrazice teoria gazului ideal. În modelul Sommerfeld , fracția de electroni cu energii apropiate de energia Fermi. Este proporțională cu o valoare mică . Apoi, există relativ puțini electroni care pot fi accelerați de un câmp electric din metal, dar lungimea drumului lor este mare. $n$ $\tau$ $n$ $n$ $k_{B}T/E_{F}$

Note

↑ Albert Mesia. Mecanica cuantică (neopr.) . - Dover Publications , 1999. - ISBN 0-486-40924-4 .
↑ Stephen Gasiorowicz . Fizica cuantică (neopr.) . - Wiley & Sons , 1974. - ISBN 0-471-29281-8 .
↑ Eugene Merzbacher. Mecanica cuantică (neopr.) . — al 3-lea. - Wiley & Sons , 2004. - ISBN 978-9971-5-1281-1 .

Dicționare și enciclopedii	Un norvegian grozav Britannica (online) Britannica (online)