Teoria Drudei

Teoria Drude este o descriere clasică a mișcării electronilor în metale . Această teorie a fost propusă de fizicianul german Paul Drude la 3 ani după descoperirea electronului ca particule - în 1900 . Se distinge prin simplitate și claritate, explică bine efectul Hall , conductivitate specifică în curent continuu și alternativ și conductivitate termică în metale și, prin urmare, este încă relevantă astăzi. Poate fi folosit pentru mai multe tipuri de suporturi, inclusiv straturi separate spațial ca în Coulomb drag .

Ipoteze de bază

Electronii dintr-un metal sunt tratați ca un gaz de electroni căruia i se poate aplica teoria cinetică a gazelor . Se crede că electronii, la fel ca atomii de gaz din teoria cinetică, sunt sfere solide identice care se mișcă în linii drepte până când se ciocnesc între ele. Se presupune că durata unei singure coliziuni este neglijabilă și că între molecule nu acționează alte forțe, cu excepția celor care apar în momentul ciocnirii. Deoarece un electron este o particulă încărcată negativ, pentru a respecta condiția de neutralitate electrică într-un solid, trebuie să existe și particule de alt fel - încărcate pozitiv. Drude a sugerat că sarcina pozitivă compensatoare aparține unor particule (ioni) mult mai grele, pe care le considera imobile. La vremea lui Drude, nu era clar de ce există electroni liberi și ioni încărcați pozitiv în metal și care sunt acești ioni. Doar teoria cuantică a solidelor ar putea da răspunsuri la aceste întrebări. Pentru multe substanțe, totuși, se poate presupune pur și simplu că gazul de electroni este format din electroni de valență externi legați slab de nucleu, care sunt „eliberați” în metal și au posibilitatea de a se mișca liber prin metal, în timp ce nucleele atomice cu electronii învelișurilor interioare (nucleele atomice) rămân neschimbați.și joacă rolul de ioni pozitivi fixați ai teoriei Drude.

În ciuda faptului că densitatea gazului de electroni de conducție este de aproximativ 1000 de ori mai mare decât densitatea unui gaz clasic la temperatură și presiune normale și în ciuda prezenței unor interacțiuni puternice electron-electron și electron-ion în modelul Drude, metode teoria cinetică a gazelor neutre rarefiate.

Ipotezele de bază ale teoriei Drude.

În intervalul dintre ciocniri nu se ține cont de interacțiunea unui electron cu alți electroni și ioni. Cu alte cuvinte, se presupune că, în absența câmpurilor electromagnetice externe, fiecare electron se mișcă cu o viteză constantă în linie dreaptă. Mai mult, se crede că în prezența câmpurilor externe, electronul se mișcă în conformitate cu legile lui Newton; în acest caz, se ia în considerare influența doar a acestor câmpuri, neglijând câmpurile suplimentare complexe generate de alți electroni și ioni. O aproximare care neglijează interacțiunea electron-electron dintre ciocniri este cunoscută sub denumirea de aproximare independentă de electroni. În consecință, aproximarea în care interacțiunea electron-ion este neglijată se numește aproximare electron liber.
În modelul Drude, ca și în teoria cinetică, coliziunile sunt evenimente instantanee care modifică brusc viteza unui electron. Drude le-a asociat cu faptul că electronii sară de nucleele impenetrabile ale ionilor (și nu le-a considerat a fi ciocniri electron-electron prin analogie cu mecanismul dominant de coliziuni într-un gaz obișnuit).
Se presupune că pe unitatea de timp electronul suferă o coliziune (adică o schimbare bruscă a vitezei) cu o probabilitate egală cu . Aceasta înseamnă că pentru un electron, probabilitatea de a experimenta o coliziune într-un interval de timp infinitezimal este pur și simplu . Timpul se numește timpul de relaxare, sau timpul căii libere; joacă un rol fundamental în teoria conductivității metalelor. Din această ipoteză rezultă că un electron ales la întâmplare în momentul actual se va mișca, în medie, în timpul înainte de următoarea sa ciocnire și s-a deplasat deja, în medie, în timpul de la coliziunea anterioară. În cele mai simple aplicații, modelele Drude consideră că timpul de relaxare nu depinde de poziția spațială a electronului și de viteza acestuia. ${1 \over \tau }$ $dt$ ${dt\peste\tau}$ $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau$
Se presupune că electronii intră în echilibru termic cu mediul lor numai datorită coliziunilor. Se crede că coliziunile mențin echilibrul termodinamic local într-un mod extrem de simplu: viteza unui electron imediat după ciocnire nu este legată de viteza sa înainte de ciocnire, ci este direcționată aleatoriu, iar valoarea sa corespunde temperaturii care predomină în regiune. unde s-a produs coliziunea. Prin urmare, cu cât zona în care are loc ciocnirea este mai fierbinte, cu atât viteza electronului după ciocnire este mai mare.

Formula lui Drude

Ecuația cinetică Boltzmann în aproximarea timpului de relaxare conduce la formula Drude pentru conductivitatea gazului de electroni:

\sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau {m^{*)))

$\sigma$ - conductivitate electrică
$n$ este concentrația de electroni
$e_{0}$ - sarcina elementara
$\tau$ - timpul de relaxare a impulsului ( timpul în care electronul „ uită ” de direcția în care s-a mișcat)
$m^{{*}}$ este masa efectivă a electronului

Mai jos este derivarea acestei expresii pentru cazul clasic fără a lua în considerare potențialul real de împrăștiere. Această formulă este, de asemenea, aplicabilă electronilor și gazelor de găuri din semiconductori (formula poate fi scrisă într-o formă diferită pentru un electron degenerat sau un gaz de găuri , unde este coeficientul de difuzie al electronilor sau găurilor și este densitatea stărilor de electroni sau găuri , iar toate marimile fizice sunt luate pe suprafata Fermi ) . Densitățile stărilor într-un conductor bidimensional $\sigma =e_{0}^{2}Dg$ $D$ $g$

g=g_{s}g_{v}{\frac {m^{*}}{2\pi \hbar ^{2}}}

unde g s este degenerescența spinului, g v este degenerarea văii, m * este masa efectivă și nu depinde de energie. g s = 2 și degenerarea văii pentru GaAs g v = 1.

Pentru purtătorii de curent cu o lege de dispersie parabolică (energia este măsurată din partea de jos a benzii de conducție)

E_{F}={\frac {mv_{F}^{2}}{2}}

unde ν F este viteza purtătorului la nivelul Fermi și g = n / E F , se poate obține expresia Drude pentru gazul de electroni bidimensional

\sigma =e_{0}^{2}D{\frac {n}{E_{F}}}={\frac {2e_{0}^{2}nD}{m^{*}v_ {F}^{2}}}={\frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}{\frac {2D}{v_{F}^{2}}}={ \frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}\tau

unde ultima ecuație rezultă din condiția de degenerare a gazului de electroni și din definirea coeficientului de difuzie.

Unele formule

accelerația unui electron între două ciocniri din a doua lege a lui Newton :

{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-{\frac {e_{0}}{m}}\cdot {\vec E}

viteza medie a electronilor :

{\overline {v}}=v_{d}=-{\frac {e_{0}\cdot E}{2m}}\cdot {\tau }

Cu toate acestea, trebuie reținut că viteza instantanee a unui electron într-un metal poate fi mare și este determinată de nivelul Fermi .

densitate de curent :

{\vec j}=-n\cdot e_{0}\cdot {\vec v}_{d}

legea lui Ohm :

{\vec {j}}={\frac {n\cdot e_{0}^{2}\cdot \tau {2m}}\cdot {\vec {E}}=\sigma \cdot { \vec {E}}

mobilitatea transportatorului de taxe :

\mu ={\frac {|{\vec {v}}_{d}|}{|{\vec {E}}|}}={\frac {e_{0}\cdot \tau } {2m}}

energia termică a unui electron:

W_{{th}}=3{\frac {kT}{2}}

Limite de aplicabilitate

Dezavantajele acestei teorii includ faptul că această teorie este fenomenologică și folosește timpul de relaxare, care trebuie obținut din experiment sau dintr-o teorie mai profundă. De asemenea, utilizarea ecuației cinetice Boltzmann în aproximarea timpului de relaxare limitează aplicabilitatea acestei teorii în regiunea spectrului discret al purtătorilor de curent, adică este aplicabilă numai în aproximarea semiclasică și în câmpurile magnetice puternice (în timpul formarea nivelurilor Landau ) sau cu un număr mic de moduri ( cuantificarea rezistenței ) nu poate descrie în mod adecvat fenomenele fizice. De asemenea, în manifestarea macroscopică a efectelor cuantice, cum ar fi fenomenul de supraconductivitate . Chiar și în câmpurile magnetice slabe, teoria Drude își poate pierde aplicabilitatea din cauza fenomenelor care apar numai în mecanica cuantică asociate cu interferența, de exemplu, localizarea slabă , efectul Aharonov-Bohm , fluctuațiile de conductanță universală . În plus, chiar și localizarea puternică (dezordine puternică), teoria percolației (densitate scăzută de purtător), conducerea saltului și transportul balistic sunt dincolo de scopul acestei teorii.

Literatură

N. Ashcroft, N. Mermin. Fizica stării solide: în două volume / M.I. Kaganov. — M .: Mir, 1979.