Număr complex

Numere complexe (din lat. complexus - conexiune, combinație [1] ; pentru stres dublu, vezi nota [K 1] ) - numere de forma unde - numere reale , - unitate imaginară [2] , adică un număr pentru care egalitatea este adevărată: Mulțimea numerelor complexe se notează de obicei cu simbolul Numerele reale pot fi considerate ca un caz special de numere complexe, ele au forma Proprietatea principală este că teorema principală a algebrei este satisfăcută în ea , adică , orice polinom de gradul al treilea ( ) are rădăcini . Se demonstrează că sistemul de numere complexe este consistent logic [K 2] . $a+bi,$ $a,b$ $i$ $i^{2}=-1.$ $\mathbb {C} .$ $a+0i.$ $\mathbb {C}$ $n$ $n\geqslant 1$ $n$

La fel ca și pentru numerele reale, pentru numerele complexe sunt definite operațiile de adunare , scădere , înmulțire și împărțire . Cu toate acestea, multe proprietăți ale numerelor complexe diferă de cele ale numerelor reale; de exemplu, nu se poate specifica care dintre două numere complexe este mai mare sau mai mică decât . Este convenabil să reprezinte numerele complexe prin puncte pe planul complex ; de exemplu, pentru a afișa numerele conjugate , se folosește operația de reflecție în jurul axei orizontale . O reprezentare alternativă a unui număr complex în notație trigonometrică sa dovedit utilă pentru calcularea puterilor și rădăcinilor . Funcțiile argument complexe sunt studiate în analiza complexă . $a+bi$

Inițial, ideea necesității de a folosi numere complexe a apărut ca urmare a soluției formale a ecuațiilor cubice , în care a fost obținut un număr negativ în formula Cardano sub semnul rădăcinii pătrate [3] . O mare contribuție la studiul numerelor complexe a fost adusă de matematicieni precum Euler , care au introdus notația general acceptată pentru unitatea imaginară, Descartes , Gauss . Termenul „număr complex” a fost introdus în știință de Gauss în 1831 [4] . $i$

Proprietățile unice ale numerelor și funcțiilor complexe și-au găsit o largă aplicație pentru rezolvarea multor probleme practice în diverse domenii ale matematicii, fizicii și tehnologiei: în procesarea semnalului , teoria controlului , electromagnetism , teoria oscilației , teoria elasticității și multe altele [5] . Transformările plane complexe s-au dovedit utile în cartografie și dinamica fluidelor . Fizica modernă se bazează pe descrierea lumii prin mecanica cuantică , care se bazează pe sistemul de numere complexe.

Sunt cunoscute și mai multe generalizări ale numerelor complexe - de exemplu, cuaternionii .

Aritmetică complexă

Definiții înrudite

Orice număr complex este format din două componente [6] : $z=a+bi$

Valoarea se numește partea reală a numărului și, conform standardelor internaționale ISO 31-11 și ISO 80000-2 , se notează sau În surse, se găsește uneori simbolul gotic [7] : $A$ $z$ $\operatorname {Re} \,z$ $\operatorname {Re} (z).$ $\Re(z).$
- Dacă , atunci se numește un
număr pur imaginar . În schimb , de obicei scriu simplu . În unele surse, astfel de numere sunt numite pur și simplu imaginare , totuși, în alte surse [8] , orice numere complexe în care pot fi numite imaginare . Prin urmare, termenul de număr imaginar este ambiguu și nu este recomandat. să-l folosească fără alte explicații. $a=0$ $z$ $0+bi$ $bi.$ $z=a+bi,$ $b\neq 0.$

Valoarea se numește partea imaginară a numărului și, conform standardelor internaționale ISO 31-11 și ISO 80000-2 , se notează sau În surse se găsește uneori simbolul gotic [9] :

b

z

\operatorname {Im} \,z

\operatorname {Im} (z).

\Im (z).

Dacă , atunci este un

număr real . În schimb , ei scriu de obicei simplu . De exemplu, complexul zero este pur și simplu notat ca

b=0

z

a+0i

A.

0+0i

0.

Opusul unui număr complexeste numărul.De exemplu,opusul unui număr este numărul $z=a+bi$ $-z=-a-bi.$ $1-2i$ $-1+2i.$

Spre deosebire de numerele reale, numerele complexe nu pot fi comparate pentru mai mult/mai puțin ; s-a dovedit că nu există nicio modalitate de a extinde ordinea dată pentru numerele reale la toate numerele complexe în așa fel încât ordinea să fie consecventă cu operațiile aritmetice (de exemplu, astfel încât din urmă ) . Cu toate acestea, numerele complexe pot fi comparate pentru egal/nu egal [6] : $a<b$ $a+c<b+c$

$a+bi=c+di$ înseamnă că și (două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale). $a=c$ $b=d$

Cele patru operații aritmetice pentru numere complexe (definite mai jos) au aceleași proprietăți ca cele pentru numerele reale .

Adunarea și scăderea

Definiția adunării și scăderii numerelor complexe [6] :

\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,

\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(ac\right)+\left(bd\right)i.

Următorul tabel [6] prezintă proprietățile de bază ale adunării pentru orice complex $u,v,w.$

Proprietate	Notația algebrică
Comutativitate ( portabilitate )	$u+v=v+u$
Asociativitate ( Compatibilitate )	$u+(v+w)=(u+v)+w$
Proprietate zero	$u+0=u$
Proprietatea elementului opus	$u+(-u)=0$
Efectuarea scăderii prin adunare	$uv=u+(-v)$

Înmulțirea

Să definim produsul [6] al numerelor complexe și $a+bi$ $c+di\colon$

(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd) +(bc+ad)i.

Următorul tabel [6] prezintă proprietățile de bază ale înmulțirii pentru orice complex $u,v,w.$

Proprietate	Notația algebrică
Comutativitate ( portabilitate )	$u\cdot v=v\cdot u$
Asociativitate ( Compatibilitate )	$u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w$
proprietatea unitatii	$u\cdot 1=u$
Proprietate zero	$u\cdot 0=0$
Distributivitatea (distributivitatea) înmulțirii în raport cu adunarea	$u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

Reguli pentru puterile unității imaginare:

i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1;\;i^{5}=i

etc.

Adică, pentru orice număr întreg, formula este adevărată , unde expresia înseamnă obținerea restului după împărțirea la 4. $n$ $i^{n}=i^{n{\bmod {4)}}$ $n{\bmod {4}}$ $n$

După definirea operațiilor cu numere complexe, expresia poate fi percepută nu ca o notație formală, ci ca o expresie compilată după regulile de adunare și înmulțire de mai sus. Pentru a arăta acest lucru, să extindem toate variabilele incluse în acesta, urmând convențiile de mai sus și definiția adunării și înmulțirii: $a+bi$

(a+0i)+(b+0i)\cdot (0+1i)=(a+0i)+(0+bi)=a+bi.

Divizia

Un număr complex se numește conjugat la un număr complex (mai multe detalii mai jos ). ${\bar z}=x-iy$ $z=x+iy$

Pentru fiecare număr complex , cu excepția zero, puteți găsi numărul său complex invers [10] Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu conjugatul complex al numitorului $a+bi,$ ${\frac {1}{a+bi}}.$ $a-bi,$

{\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)))={\frac {a-bi}{a^{ 2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2} }}i.

Să definim rezultatul împărțirii [6] a unui număr complex cu un număr diferit de zero $a+bi$ $c+di\colon$

{\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right) )\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^ {2}+d^{2}}}\right)i.

Ca și în cazul numerelor reale, diviziunea poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu reciproca divizorului .

Alte operațiuni

Pentru numerele complexe , sunt definite și extragerea rădăcinilor , exponențiarea și logaritmul .

Principalele diferențe dintre numerele complexe și numerele reale

S-a menționat deja că numerele complexe nu pot fi comparate pentru mai mult sau mai puțin (cu alte cuvinte, relația de ordine nu este stabilită pe mulțimea numerelor complexe ). O altă diferență: orice polinom de grad cu coeficienți complexi (în special, reali) are, ținând cont de multiplicitate , rădăcini exact complexe ( Teorema fundamentală a algebrei ) [11] . $n>0$ $n$

În sistemul numerelor reale, este imposibil să extragi rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ. Pentru numerele complexe, este posibil să extrageți rădăcina din orice număr de orice grad, dar rezultatul este ambiguu - rădăcina complexă a gradului al-lea dintr-un număr diferit de zero are valori complexe diferite [12] . Vezi, de exemplu, rădăcinile unității . $n$ $n$

Diferențele suplimentare au funcții ale unei variabile complexe .

Note

Numărul nu este singurul număr al cărui pătrat este Numărul are și această proprietate. $i$ $-unu.$ $-i$

O expresie folosită anterior des în schimb în manualele moderne este considerată incorectă și numai expresiile nenegative sunt permise sub semnul radicalului (vezi „ Rădăcina aritmetică ”). Pentru a evita erorile, expresia cu rădăcini pătrate a valorilor negative este în prezent scrisă ca și nu în ciuda faptului că chiar și în secolul al XIX-lea a doua versiune a notației a fost considerată acceptabilă [13] [14] . ${\sqrt {-1}),$ $eu,$ $5+i{\sqrt {3)),$ $5+{\sqrt {-3)),$

Un exemplu de eroare posibilă atunci când se folosește neglijent o intrare învechită:

{\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)))={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3.

Această eroare se datorează faptului că rădăcina pătrată a este definită ambiguu (vezi mai jos formula lui #De Moivre și extragerea rădăcinilor ). Cu notația modernă, această eroare nu ar fi apărut [14] : $-3$

\left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right) ^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.

Reprezentare geometrică

Plan complex

Numerele complexe pot fi reprezentate pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular : numărul corespunde unui punct din planul cu coordonate (precum și un vector rază care leagă originea de acest punct). Un astfel de plan se numește complex . Numerele reale de pe el sunt situate pe axa orizontală, unitatea imaginară este reprezentată de unitatea de pe axa verticală; din acest motiv, axele orizontale și verticale se numesc axe reală și respectiv imaginară [15] . $z=x+iy$ $\stanga\{x,y\dreapta\}$

Poate fi convenabil să se ia în considerare și un sistem de coordonate polare pe plan complex (vezi figura din dreapta), în care coordonatele unui punct sunt distanța până la origine ( modul ) și unghiul vectorului rază . a punctului cu axa orizontală ( argument ). $r$ $\varphi$

În această reprezentare, suma numerelor complexe corespunde sumei vectoriale a vectorilor cu rază corespunzători, iar scăderea numerelor corespunde cu scăderea vectorilor cu rază. La înmulțirea numerelor complexe, modulele acestora sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate (acesta din urmă este ușor de dedus din formula lui Euler sau din formulele sumei trigonometrice ). Dacă modulul celui de-al doilea factor este egal cu 1, atunci înmulțirea cu acesta corespunde rotației vectorului rază a primului număr cu un unghi egal cu argumentul celui de-al doilea număr [16] . Acest fapt explică utilizarea pe scară largă a reprezentării complexe în teoria oscilațiilor , unde în locul termenilor „modul” și „argument” se folosesc termenii „ amplitudine ” și „ fază ” [17] .

Exemplu : Înmulțirea curază se rotește vectorul rază al unui număr cu un unghi drept în direcția pozitivă, iar după înmulțirea curaza vectorul se rotește cu un unghi drept în direcția negativă. $i$ $-i$

Modulul

Modulul ( valoarea absolută ) unui număr complex este lungimea vectorului rază a punctului corespunzător al planului complex (sau, echivalent, distanța de la punctul planului complex la origine). Modulul unui număr complex este notat (uneori sau ) și este determinat de expresia [16] $z=x+iy$ $\left|z\right|$ $r$ $\rho$

\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Dacă este un număr real , atunci coincide cu valoarea absolută a acestui număr în sensul real al termenului. $z$ $\left|z\right|$

Pentru orice complex , următoarele proprietăți ale modulului sunt valabile pentru [16] [18] : $z,z_{1},z_{2)$

1) și numai pentru

\left|z\right|\geqslant 0

\left|z\right|=0

z=0;

2) ( inegalitatea triunghiului );

\left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|

\left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|;

patru)

\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}});

5) pentru o pereche de numere complexe și modulul diferenței lor este egal cu distanța dintre punctele corespunzătoare ale planului complex;

z_{1}

z_{2}

\left|z_{1}-z_{2}\right|

6) modulul unui număr este legat de părțile reale și imaginare ale acestui număr prin relațiile:

z

-|z|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z| \leqslant |\operatorname {Re} (z)|+|\operatorname {Im} (z)|.

Argument

Argumentul unui număr complex diferit de zero este unghiul dintre vectorul rază a punctului corespunzător și semiaxa reală pozitivă. Argumentul numărului este măsurat în radiani și este notat cu . Din această definiție rezultă că [16] $\varphi$ $z$ $\operatorname {Arg} \left(z\right)$

\operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x));\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|));\quad \ sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}.

Pentru zero complex, valoarea argumentului nu este definită; pentru un număr diferit de zero, argumentul este definit până la , unde este orice număr întreg. Valoarea principală a argumentului este o astfel de valoare încât valoarea principală poate fi notată [19] . $z$ $2\pi k$ $k$ $\varphi$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi .$ $\operatorname {arg} \left(z\right)$

Câteva proprietăți ale argumentului [18] :

1) argumentul numărului invers diferă ca semn de argumentul celui original:

\operatorname {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right);

2) argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor:

\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2});

3) argumentul coeficientului din împărțire este egal cu diferența dintre argumentele dividendului și divizorului:

\operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}).

Numerele conjugate

Dacă numărul complex este egal, atunci numărul se numește conjugat (sau conjugat complex) cu (notat și ). Pe planul complex, numerele conjugate se obțin unele de la altele prin reflectarea în oglindă în jurul axei reale. Modulul numărului conjugat este același cu cel original, iar argumentele lor diferă prin semnul [20] : $z$ $x+iy,$ ${\bar z}=x-iy$ $z$ $z^{*}$

$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operatorname {Arg} ({\bar {z}))=-\operatorname {Arg} (z ).$

Trecerea la un conjugat poate fi privită ca o operație cu un singur loc care păstrează toate proprietățile aritmetice și algebrice. Această operație are următoarele proprietăți [20] :

$z={\bar {z)}$ dacă și numai dacă este un număr real. $z$
${\bar {{\bar {z))))=z$ (conjugatul la conjugat este originalul; cu alte cuvinte, operația de conjugare este o involuție ).

Produsul numerelor complexe conjugate este un număr real nenegativ, egal cu zero numai pentru zero z [18] :

$z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Suma numerelor complexe conjugate este un număr real [18] :

$z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} \left(z\right)=2x.$

Alte rapoarte [18] :

$\operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z)}}{2));\quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$
${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2};$

Sau, în formă generală: unde este un polinom arbitrar cu coeficienți reali. În special, dacă un număr complex este rădăcina unui polinom cu coeficienți reali, atunci numărul conjugat este și rădăcina acestuia. De aici rezultă că rădăcinile esențial complexe ale unui astfel de polinom (adică rădăcinile care nu sunt reale) sunt descompuse în perechi conjugate complexe [18] . ${\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right),$ $p\stanga(z\dreapta)$ $z$ $\overline{z}$

Exemplu

Faptul că produsul este un număr real poate fi folosit pentru a exprima fracția complexă în formă canonică, adică pentru a scăpa de numitorul imaginar. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia conjugată la numitorul [21] , de exemplu: $z{\bar {z)}$

{\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)))={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.

Forme de reprezentare a unui număr complex

Forma algebrică

Mai sus, am folosit notația unui număr complex sub forma unei astfel de notații se numește forma algebrică a unui număr complex. Celelalte două forme principale de notație sunt asociate cu reprezentarea unui număr complex în sistemul de coordonate polare . $z$ $x+iy;$

Forma trigonometrică

Dacă părțile reale și imaginare ale unui număr complex sunt exprimate în termeni de modul și argument (adică , , ), atunci orice număr complex , cu excepția zero, poate fi scris în formă trigonometrică [16] : $X$ $y$ $r=\left|z\right|$ $\varphi$ $x=r\cos \varphi$ $y=r\sin\varphi$ $z$

z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)

După cum am menționat mai sus, zero nu are niciun argument; pentru un număr diferit de zero se determină până la un multiplu întreg $\varphi$ $\varphi$ $2\pi .$

Forma indicativ

Formula lui Euler [21] este de o importanță fundamentală în analiza complexă :

e^{i\varphi}=\cos \varphi +i\sin \varphi ,

unde este numărul Euler , , este cosinusul și sinusul , este exponentul complex , continuându-l pe cel real în cazul unui exponent complex comun. $e$ $\cos$ $\păcat$ $e^{{i\varphi }}$

Aplicând această formulă formei trigonometrice, obținem forma exponențială a numărului complex [21] :

z=re^{i\varphi }.

Consecințe

(1) Modulul expresiei în care numărul este real este 1.

e^{i\varphi},

\varphi

(2) — cu un argument esențial complex , aceste egalități pot servi ca definiție a cosinusului și sinusului (complex) .

\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2));\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\ varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}

\varphi

Exemplul [22] . Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică și exponențială $z=-1-{\sqrt {3}}i\colon$

|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-{\sqrt {3)))^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2;

\varphi =-\pi +\operatorname {arctg} {\Bigl (}{\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}{\Bigr )}=-\pi +\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})=-{\frac {2\pi }{3}}

(pentru că este în trimestrul de coordonate III).

z

De aici:

z=2\left(\cos {\frac {-2\pi }{3}}+i\sin {\frac {-2\pi }{3}}\right)=2e^{i{ \frac {-2\pi }{3}}}.

Formula lui De Moivre și extragerea rădăcinilor

Această formulă ajută la ridicarea la o putere întreagă a unui număr complex diferit de zero reprezentat în formă trigonometrică. Formula lui De Moivre are forma [12] :

z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right),

unde este modulul și este argumentul unui număr complex. În simbolismul modern, a fost publicat de Euler în 1722. Formula de mai sus este valabilă pentru orice număr întreg , nu neapărat pozitiv. $r$ $\varphi$ $n$

O formulă similară este de asemenea aplicabilă atunci când se calculează rădăcinile gradului al-lea dintr-un număr complex diferit de zero [21] : $n$

{\begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left( \varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=\\&={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\\\end{alignedat}}

unde k ia toate valorile întregi de la până la . Aceasta înseamnă că rădăcinile a treia ale unui număr complex diferit de zero există pentru orice număr natural și numărul lor este egal cu . Pe planul complex, după cum se poate observa din formulă, toate aceste rădăcini sunt vârfurile unui -gon regulat înscris într-un cerc de rază centrat la origine (vezi figura). $k=0$ $k=n-1$ $n$ $n,$ $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

Sensul principal al rădăcinii

Dacă în formula Moivre valoarea sa principală este aleasă ca argument , atunci valoarea rădăcinii at se numește valoarea principală a rădăcinii [23] . De exemplu, valoarea principală a unui număr este $\varphi$ $k=0$ ${\sqrt[{3}]{2+11i))$ $2+i.$

Rădăcină pătrată

Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr complex, puteți converti acest număr într-o formă trigonometrică și puteți utiliza formula Moivre pentru Dar există și o reprezentare pur algebrică pentru două valori de rădăcină. Când rădăcinile unui număr sunt o pereche de numere: unde [24] : $n=2.$ $b\neq 0$ $a+bi$ $\pm (c+di),$

c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)})){2))},

d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)})){2))}.

Aici este funcția „semn” , iar radicalii denotă rădăcina aritmetică obișnuită a unui număr real nenegativ. Formula este ușor de verificat prin pătrat. Numărul este valoarea principală a rădăcinii pătrate. $\operatorname{sgn}$ $c+di$ $c+di$

Exemplu : pentru rădăcina pătrată aformulei, sunt date două valori: $3+4i$ $2+i;\;-2-i.$

Istorie

Pentru prima dată, se pare, cantitățile imaginare au fost menționate în lucrarea lui Cardano „Marea artă sau pe reguli algebrice” (1545), ca parte a soluției formale a problemei calculării a două numere, a căror sumă este egală. la 10, iar produsul este egal cu 40. El a primit pentru aceste probleme o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini sunt: și În comentariul la soluție, a scris: „aceste cantități cele mai complexe sunt inutile, deși foarte ingenioase”, iar „considerațiile aritmetice devin din ce în ce mai evazive, atingând limita pe cât de rafinată, pe atât de inutilă” [25] . $5+{\sqrt {-15}}$ $5-{\sqrt {-15}}.$

Posibilitatea de a folosi cantități imaginare în rezolvarea unei ecuații cubice a fost descrisă pentru prima dată de Bombelli (1572), el a dat și regulile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor complexe. Ecuația are o rădăcină reală , dar conform formulelor lui Cardano, obținem: Bombelli a descoperit că , deci, suma acestor cantități dă rădăcina reală dorită. El a observat că în astfel de cazuri ( ireductibile ), rădăcinile complexe ale ecuației sunt întotdeauna conjugate, deci suma este o valoare reală. Explicațiile lui Bombelli au pus bazele aplicării cu succes a numerelor complexe în matematică [26] [25] . $x^{3}=15x+4$ $x=4,$ $x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}.$ ${\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i,$

Expresii care pot fi reprezentate ca aparând la rezolvarea ecuațiilor pătratice și cubice, unde au început să fie numite „imaginare” în secolele XVI-XVII la sugestia lui Descartes , care le-a numit așa, respingându-le realitatea. Pentru mulți alți oameni de știință proeminenți ai secolului al XVII-lea, natura și dreptul de a exista cantităților imaginare păreau, de asemenea, foarte îndoielnice. Leibniz , de exemplu, scria în 1702: „Duhul lui Dumnezeu a găsit cea mai subtilă ieșire în acest miracol al analizei, un ciudat din lumea ideilor, o esență duală, situată între ființă și neființă, pe care o numim rădăcină imaginară. a unei unități negative”. În ciuda acestor îndoieli, matematicienii au aplicat cu încredere numerelor „imaginare” regulile algebrice obișnuite pentru mărimile reale și au obținut rezultate corecte [25] . $a+b{\sqrt {-1)),$ $b\neq 0,$

Multă vreme nu a fost clar dacă toate operațiunile pe numere complexe duc la rezultate complexe sau dacă, de exemplu, extragerea unei rădăcini poate duce la descoperirea unui alt tip nou de număr. Problema exprimării rădăcinilor unui număr dat a fost rezolvată de Moivre (1707) și Cotes (1722) [27] . $n$

Simbolul unității imaginare a fost propus de Euler (1777, publ. 1794), care a luat pentru aceasta prima literă a cuvântului latin imaginarius - „imaginar”. De asemenea, a extins toate funcțiile standard, inclusiv logaritmul , la domeniul complex. Euler a exprimat, de asemenea, ideea în 1751 că în sistemul de numere complexe orice polinom are o rădăcină ( teorema fundamentală a algebrei , înainte de Euler ipoteze similare au fost făcute de Albert Girard și René Descartes ) [28] . d'Alembert (1747) a ajuns la aceeași concluzie , dar prima dovadă riguroasă a acestui fapt îi aparține lui Gauss (1799) [26] . Gauss și a introdus termenul de „număr complex” în uz pe scară largă în 1831 (anterior termenul a fost folosit în același sens de către matematicianul francez Lazar Carnot în 1803, dar apoi nu a câștigat popularitate) [29] . $i$

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe, care a contribuit în mare măsură la legalizarea lor, a fost propusă la sfârșitul secolului al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea, mai întâi de către Wessel și Argan (lucrările lor nu au atras atenția), apoi de Gauss [30] . Modelul aritmetic (standard) al numerelor complexe ca perechi de numere reale a fost construit de Hamilton (The Theory of Algebraic Pairs, 1837); aceasta a dovedit consistența proprietăților lor. Termenii „modul”, „argument” și „număr conjugat” au fost introduși la începutul secolului al XIX-lea de către Cauchy , care a avansat semnificativ analiza complexă . Începând cu secolul al XIX-lea, a început o dezvoltare rapidă și extrem de fructuoasă a cercetării asupra funcțiilor unei variabile complexe. [2] [31] .

Având în vedere această abordare de succes, a început căutarea unei modalități de a reprezenta vectori în spațiul tridimensional , similar cu planul complex. Ca urmare a cincisprezece ani de căutări , Hamilton a propus în 1843 o generalizare a numerelor complexe - cuaternioni , pe care a fost obligat să le facă nu tridimensionale, ci patrudimensionale (vectorii tridimensionali descriu partea imaginară a cuaterniilor); Hamilton a trebuit să abandoneze și comutativitatea operației de înmulțire [2] .

În 1893, Charles Steinmetz a sugerat utilizarea numerelor complexe pentru a calcula circuitele electrice de curent alternativ (vezi mai jos ).

Funcții complexe

Funcții analitice

O funcție complexă a unei variabile este o funcție care este definită pe o anumită regiune a planului complex și atribuie valori complexe punctelor acestei regiuni [32] . Exemple: $w=f(z)$ $z$ $w$

w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z)).

Fiecare funcție complexă poate fi considerată ca o pereche de funcții reale a două variabile: definindu-și părțile reale și, respectiv, imaginare. Funcțiile , sunt numite componente ale unei funcții complexe În mod similar, o funcție a mai multor variabile complexe este definită [32] . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y),$ $u$ $v$ $f(z).$

O reprezentare vizuală a unei funcții complexe printr -un grafic este dificilă, deoarece chiar și pentru o funcție a unei variabile complexe, graficul necesită patru dimensiuni (două pentru domeniul de definiție și încă două pentru domeniul de valori). Dacă în loc de valoarea funcției luăm în considerare modulul acesteia, atunci relieful rezultat al funcției este situat în trei dimensiuni și oferă o idee despre comportamentul funcției [33] . $|w|=|f(z)|,$

Toate funcțiile standard de analiză - polinom , funcție fracțională liniară , funcție de putere , exponențială , funcții trigonometrice , funcții trigonometrice inverse , logaritm - pot fi extinse la planul complex. În acest caz, aceleași identități algebrice, diferențiale și alte identități vor fi valabile pentru ele ca și pentru originalul real [32] , de exemplu:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Pentru funcțiile complexe, conceptele de limită , continuitate și derivată sunt definite în același mod ca în analiza reală, cu valoarea absolută înlocuită cu un modul complex [32] .

Funcțiile complexe diferențiabile (adică funcțiile care au o derivată) au un număr de caracteristici în comparație cu cele reale [34] .

Părțile reale și imaginare ale funcției diferențiabile sunt funcții armonice conectate prin condițiile Cauchy-Riemann .
Orice funcție complexă diferențiabilă într-o anumită vecinătate a unui punct este diferențiabilă de un număr nelimitat de ori în acest punct (adică este analitică sau holomorfă ). $z$

Integrala definită pentru funcțiile unei variabile complexe, în general, depinde de calea de integrare (adică alegerea unei curbe de la punctul de început până la punctul final în planul complex). Totuși, dacă funcția integrabilă este analitică într-un domeniu simplu conectat , atunci integrala sa în interiorul acestui domeniu nu depinde de calea [35] .

Transformări plane complexe

Orice funcție complexă poate fi considerată ca o transformare a planului complex (sau ca o transformare a unui plan complex în altul). Exemple:

$w=z+c$ - translația paralelă , determinată de vectorul rază a punctului $c.$
$w=uz,$ unde este un număr complex cu un modul unitar, este o rotație în jurul originii cu un unghi egal cu argumentul $u$ $u;$
$w={\bar {z)}$ este o reflexie în oglindă în jurul axei reale.

Deoarece orice mișcare pe plan este o combinație a celor trei transformări de mai sus, funcțiile și dau o expresie generală pentru mișcarea pe plan complex [36] . $w=uz+c$ $w=u{\bar {z}}+c$

Alte transformări liniare [36] :

$w=rz$ , unde este un număr real pozitiv, specifică întinderea cu un factor dacă sau timpii de micșorare dacă $r$ $r$ $r>1,$ ${\tfrac {1}{r)}$ $r<1;$
transformări și unde sunt numere complexe arbitrare, definiți transformarea de similaritate ; $w=az+b$ $w=a{\bar {z}}+b,$ $a,b$
transformare unde este forma generală a unei transformări afine a planului complex (când transformarea nu va fi afină, deoarece va degenera planul într-o linie dreaptă). $w=az+b{\bar {z}}+c,$ $|a|\neq |b|,$ $|a|=|b|$

Un rol important în analiza complexă îl joacă transformările liniar-fracționale [37] :

w={\frac {az+b}{cz+d)).

În acest caz (altfel funcția degenerează într-o constantă). O proprietate caracteristică transformării liniar-fracționale: transformă cercurile și liniile drepte în cercuri și drepte (adică în așa-numitele cercuri generalizate [38] [39] , care includ „cercuri cu rază infinită” - drepte ). În acest caz, imaginea cercului se poate dovedi a fi o linie dreaptă și invers [37] . $ad\neq bc$ $w(z)$

Alte funcții de transformare utile practic includ: inversarea funcției Jukovski . Inversia, ca și transformarea liniar-fracțională, transformă cercuri generalizate în cercuri generalizate. $w=1/{\bar {z)),$

Geometrie analitică pe plan complex

Studiul figurilor plane este adesea facilitat dacă acestea sunt transferate în plan complex. Multe teoreme de planimetrie permit o notație clară și compactă folosind numere complexe, de exemplu [40] :

Trei puncte (distinte) se află pe aceeași linie dacă și numai dacă este îndeplinită următoarea condiție: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

este un număr real.

Patru puncte (distinte) se află pe același cerc generalizat (cerc sau linie) dacă și numai dacă este îndeplinită următoarea condiție: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

raportul este un număr real.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Dacă sunt date trei vârfuri ale unui paralelogram : atunci al patrulea este determinat de egalitatea [41] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Ecuația parametrică a unei drepte pe plan complex are forma [42] :

z=ut+v,

unde sunt numere complexe, este un parametru real arbitrar.

u,v

u\neq 0,t

Unghiul dintre două drepte și este În special, liniile sunt perpendiculare numai atunci când este un număr pur imaginar. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă există un număr real; dacă și real, atunci ambele linii coincid. Fiecare linie dreaptă taie planul complex în două semiplane: pe unul dintre ele expresia este pozitivă, pe cealaltă este negativă [42] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operatorname {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ $(v'-v)/u$ $z=ut+v$ $t=\operatorname {Im} {\frac {zv}{u}}$

Ecuația unui cerc cu centru și rază are o formă extrem de simplă: Inegalitatea descrie interiorul unui cerc ( un cerc deschis ) [42] . Forma parametrică a ecuației cercului este adesea convenabilă [43] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Plasați în algebră generală, topologie și teoria mulțimilor

Mulțimea numerelor complexe formează un câmp , care este o extensie finită a câmpului numerelor reale de gradul 2. Principala proprietate algebrică este că este închis algebric , adică orice polinom din el are rădăcini (complexe) și, prin urmare , se descompune în factori liniari. Se mai spune că există o închidere algebrică [44] a câmpului $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

Caracteristica câmpului complex este zero, puterea ca mulțime este aceeași cu cea a câmpului numerelor reale, adică continuumul . Teorema Frobenius a stabilit că există doar două câmpuri oblice care sunt extensii finite - câmpul numerelor complexe și câmpul distorsionat al cuaternionilor [45] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Este imposibil să transformi câmpul numerelor complexe într- un câmp ordonat , deoarece într-un câmp ordonat pătratul oricărui element este nenegativ și o unitate imaginară nu poate exista în el.

Din proprietățile modulului rezultă că numerele complexe formează structura unui spațiu normat bidimensional peste câmp $\mathbb{R}.$

Câmpul admite infinit de automorfisme , dar doar unul dintre ele (fără a socoti identitatea) lasă numerele reale în loc [46] . $\mathbb {C}$

Câmpurile și sunt singurele câmpuri topologice compacte conectate local [47] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Câteva aplicații practice

Acele trăsături ale numerelor complexe și ale funcțiilor care le deosebesc de cele reale s-au dovedit a fi utile și adesea indispensabile în matematică, științe naturale și tehnologie.

Matematică

Aplicațiile numerelor complexe în sine ocupă un loc proeminent în matematică - în special, conceptele de numere algebrice , găsirea rădăcinilor polinoamelor , teoria Galois , analiza complexă etc.

Transferând o problemă geometrică dintr-un plan obișnuit într-unul complex, de multe ori avem ocazia de a simplifica semnificativ soluția acesteia [48] [49] .

Multe probleme complexe din teoria numerelor (de exemplu, teoria reziduurilor biquadratice ) și analiza matematică reală (de exemplu, calculul integralelor complexe sau improprie ) au putut fi rezolvate doar folosind instrumente complexe de analiză . Un instrument puternic pentru descoperiri în teoria numerelor sa dovedit a fi, de exemplu, numerele gaussiene de forma în care sunt numere întregi [50] . Pentru a studia distribuția numerelor prime a fost necesară funcția zeta complexă Riemann [51] . $a+bi,$ $a,b$

Adesea problemele analizei reale sunt clarificate prin generalizarea lor complexă. Exemplul clasic este expansiunea Taylor

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Această serie converge numai în intervalul , deși punctele nu sunt speciale pentru funcția redusă. Situația devine mai clară la trecerea la o funcție a unei variabile complexe , care are două puncte singulare: poli Prin urmare, această funcție poate fi extinsă într-o serie doar într-un cerc de rază unitară [52] . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(z)={\frac {1}{1+z^{2)}},$ $\pm i.$

Când rezolvăm ecuații diferențiale liniare , este important să găsim mai întâi toate rădăcinile complexe ale polinomului caracteristic și apoi să încercăm să rezolvăm sistemul în termeni de exponențiale de bază [53] . În ecuațiile la diferență , rădăcinile complexe ale ecuației caracteristice a unui sistem de ecuații la diferență sunt utilizate într-un scop similar [54] . Cu ajutorul teoriei reziduurilor , care face parte din analiza complexă, se calculează multe integrale complexe peste contururi închise [55] ..

Studiul unei funcții este adesea asociat cu analiza spectrului său de frecvență folosind transformarea complexă Fourier sau Laplace [56] .

Reprezentarea numerelor complexe în informatică și suport informatic pentru aritmetică complexă este descrisă în articolul Tip de date complex .

Cartografiere conformă

După cum sa menționat mai sus, orice funcție complexă poate fi considerată ca o transformare a unui plan complex în altul. [ _ _ _ _ _ 57] . Acest fapt este legat de aplicarea largă a funcțiilor complexe în cartografie [58] [59] și hidrodinamică [60] .

Mecanica cuantică

Baza mecanicii cuantice este conceptul de funcție de undă complexă.Pentru a descrie dinamica unui sistem cuantic, sunt utilizate ecuații diferențiale cu coeficienți complexi, cum ar fi ecuația Schrödinger . Soluțiile acestor ecuații sunt date într-un spațiu Hilbert complex . Operatorii corespunzători mărimilor observate sunt hermitieni . Comutatorul operatorilor de poziție și impuls este un număr imaginar [61] : ${\hat {x}}$ ${\hat {p}}_{x}$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\ pălărie {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar

Aici este constanta lui Planck redusă , adică ( constanta lui Dirac ). $\hbar$ $h$ $h/2\pi$

Un rol important în mecanica cuantică îl au matricele Pauli și matricele Dirac , unele dintre ele conținând valori complexe [61] .

Inginerie electrică

Deoarece curentul alternativ este un proces oscilator, este convenabil să-l descriem și să îl studiați folosind numere complexe. Conceptele de impedanță sau rezistență complexă sunt, de asemenea, introduse pentru elementele reactive ale unui circuit electric, cum ar fi capacitatea și inductanța, - aceasta ajută la calcularea curenților din circuit [62] . Datorită faptului că în mod tradițional simbolul în inginerie electrică denotă mărimea curentului, unitatea imaginară este notă acolo prin litera [63] . În multe domenii ale ingineriei electrice (în principal radiofrecvență și optică), nu este utilizată înregistrarea ecuațiilor de curent și tensiune pentru circuit, ci direct ecuațiile Maxwell în reprezentarea lor spectrală, ale căror cantități fizice sunt date. în plan complex, iar în timpul trecerii de la - la - spațiu (unde - timpul , este frecvența unghiulară ) prin intermediul transformatei Fourier se obțin ecuații mai simple fără derivate [64] . $i$ $j\,$ $(t,x)$ $(\omega,k)$ $t$ $\omega$

Fundamente logice

Extinderea câmpului numerelor reale la cele complexe, ca orice altă extensie a structurii algebrice, ridică multe întrebări, dintre care principalele sunt întrebări despre cum se definesc operații pe un nou tip de numere, ce proprietăți vor avea noile operații. , și (întrebarea principală) este extinderea permisă, dacă va duce la contradicții de neînlăturat.

Pentru a analiza astfel de întrebări în teoria numerelor complexe, este necesar să se formeze un set de axiome.

Axiomatica numerelor complexe

Este posibil să se definească axiomatica mulţimii numerelor complexe , dacă ne bazăm pe teoria axiomatică a numerelor reale . Și anume, definim ca câmpul minim care conține mulțimea numerelor reale și cel puțin un număr a cărui a doua putere este −1, unitatea imaginară . Mai strict vorbind, axiomele numerelor complexe sunt următoarele [65] [66] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

C1 : Pentru orice numere complexe, suma lor este definită

u,v

u+v.

C2 : Adunarea este comutativă : În plus, în unele axiome, pentru concizie, vom omite clauza „pentru orice ”.

u+v=v+u.

u,v,w

C3 : Adunarea este asociativă :

(u+v)+w=u+(v+w).

C4 : Există un element 0 (zero) astfel încât

u+0=u.

C5 : Pentru fiecare număr complex există un element opus astfel încât

u

-u

u+(-u)=0.

C6 : Pentru orice numere complexe produsul lor este definit

u,v

uv.

C7 : Înmulțirea este comutativă :

uv=vu.

C8 : Înmulțirea este asociativă :

(uv)w=u(vw).

C9 : Înmulțirea este legată de adunare prin legea distributivă (distributivă):

(u+v)w=uw+vw.

C10 : Există un element 1 (unul) care nu este egal cu zero și astfel încât

u\cdot 1=u.

C11 : Pentru fiecare număr diferit de zero, există o reciprocă a acestuia astfel încât

u

u'

u\cdot u'=1.

C12 : Mulțimea numerelor complexe conține un subcâmp izomorf cu câmpul numerelor reale Pentru simplitate, acest subcâmp este notat mai jos cu aceeași literă

\mathbb {C}

\mathbb{R}.

\mathbb{R}.

C13 : Există un element ( unitate imaginară ) astfel încât

i

i^{2}+1=0.

C14 ( axioma minimalității ): Fie o submulțime care: conține atât unitatea imaginară și este închisă sub adunare și înmulțire. Apoi se potrivește cu totul

M

\mathbb {C} ,

\mathbb {R}

M

\mathbb {C} .

Toate celelalte proprietăți urmează ca corolare din aceste axiome. Primele 11 axiome înseamnă ceea ce formează câmpul , iar a 12-a axiomă afirmă că acest câmp este o extensie . $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

Există și alte versiuni ale axiomaticii numerelor complexe. De exemplu, în loc să se bazeze pe câmpul ordonat deja construit al numerelor reale, se poate folosi ca bază axiomatica teoriei mulțimilor [68] .

Consistență și modele

Modul standard de a demonstra consistența unei noi structuri este de a modela ( interpreta ) axiomele acesteia folosind obiecte ale unei alte structuri, a căror consistență este dincolo de orice îndoială. În cazul nostru, trebuie să implementăm aceste axiome pe baza numerelor reale [69] .

Model standard

Luați în considerare toate perechile ordonate posibile de numere reale. În acest model, fiecare astfel de pereche va corespunde unui număr complex [70] $(a,b)$ $a+bi.$

Apoi, definiți [69] :

perechi și sunt considerate egale dacă și $(a,b)$ $(c,d)$ $a=c$ $b=d;$
adunare : suma perechilor și este definită ca o pereche $(a,b)$ $(c,d)$ $(a+c,b+d);$
înmulțire : produs de perechi și se definește ca o pereche $(a,b)$ $(c,d)$ $(ac-bd, ad+bc).$

Explicație: definiția aparent complicată a înmulțirii este ușor derivată din relație $i^{2}=-1\colon$

(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc ).

Este ușor de verificat că structura de perechi descrisă formează un câmp și satisface întreaga listă de axiome ale numerelor complexe. Numerele reale sunt modelate în perechi formând un subcâmp , iar operațiile cu astfel de perechi sunt în concordanță cu adunarea și înmulțirea obișnuită a numerelor reale. Perechi și corespund zero și unității câmpului. Această metodă este un caz special al procedurii Cayley-Dixon . ${\displaystyle(a,0)}$ $\mathbb {R}$ $(0,0)$ $(1,0)$

Unitatea imaginară este o pereche , pătratul său este egal , adică orice număr complex poate fi scris ca ${\displaystyle(0,1),}$ $\left(-1,\;0\right),$ $-unu.$ $(a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.$

Modelul descris demonstrează că axiomatica dată a numerelor complexe este consecventă. Pentru că dacă ar exista o contradicție în el, atunci aceasta ar însemna o contradicție în aritmetica de bază a numerelor reale pentru acest model, pe care am presupus-o în prealabil a fi consecventă [69] .

Model matrice

Numerele complexe pot fi definite și ca un subinel al inelului de matrici reale 2×2 de forma

{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}

cu adunarea și înmulțirea matriceală obișnuită [2] . Unitatea reală va corespunde

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

unitate imaginară -

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

Mulțimea unor astfel de matrici este un spațiu vectorial bidimensional . Înmulțirea cu un număr complex este un operator liniar . În baza , operatorul liniar al înmulțirii cu este reprezentat de matricea de mai sus, deoarece [2] : $x+iy$ $e_{1}=1,e_{2}=i$ $x+iy$

(x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i;

(x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i.

Modelul matriceal facilitează demonstrarea relației dintre numerele complexe și transformările liniare ale unui anumit tip de plan. Și anume, există o corespondență unu-la-unu între numerele complexe și homoteții de rotație ale planului ( combinații de extensie despre un punct și rotație ): fiecare homotezie de rotație poate fi reprezentată pe plan complex ca o înmulțire cu un număr complex [71]. ] .

Modelul inel factorial al polinoamelor

Luați în considerare un inel polinom cu coeficienți reali și construiți inelul său coeficient modulo polinomul (sau, care este același, conform idealului generat de polinomul specificat). Aceasta înseamnă că vom considera două polinoame din ca fiind echivalente dacă, atunci când sunt împărțite la un polinom , ele dau același rest. De exemplu, un polinom va fi echivalent cu o constantă , un polinom va fi echivalent etc. [72] $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $x^{2}$ $-1,$ $x^{3}$ $-X$

Mulțimea claselor de echivalență formează un inel cu identitate. Deoarece polinomul este ireductibil , acest inel factor este un câmp. Rolul unității imaginare îl joacă polinom, deoarece pătratul său (vezi mai sus) este echivalent.Fiecare clasă de echivalență conține un rest al formei (din împărțirea cu ), care, având în vedere cele spuse, se poate scrie. ca Prin urmare, acest câmp este izomorf cu câmpul numerelor complexe [72] . $x^{2}+1$ $i(x)=x,$ $-unu.$ $a+bx$ $x^{2}+1$ $a+bi.$

Acest izomorfism a fost descoperit de Cauchy în 1847. Această abordare poate fi folosită pentru a construi generalizări ale numerelor complexe, cum ar fi algebrele Clifford [73] .

Caracterizare algebrică

După cum am menționat mai sus , câmpul numerelor complexe este închis algebric și are caracteristica zero (din ultima proprietate rezultă că conține un subcâmp de numere raționale ). Mai mult, orice bază de transcendență peste are cardinalitatea continuumului [K 3] . Aceste trei proprietăți sunt suficiente pentru a defini câmpul numerelor complexe până la izomorfismul câmpului - între oricare două câmpuri închise algebric de caracteristică 0 cu o bază de transcendență continuu, există o anumită identificare compatibilă cu operațiile de adunare și multiplicare a acestor câmpuri [74] [75] [K 4] . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q}$

Sub această identificare, alte structuri, cum ar fi norma sau topologia , pot să nu fie păstrate. De exemplu, închiderea algebrică a unui câmp de numere -adice satisface și cele trei proprietăți indicate. Totuși, norma -adică nu este arhimediană și, prin urmare, nu este echivalentă cu norma uzuală a numerelor complexe pentru orice alegere de izomorfism [76] . Prin urmare, ele definesc o structură diferită a spațiului vectorial topologic : mulțimea oricărui element al spațiului vectorial și multiplicitățile sale integrale este discretă în cazul complex și compactă în -adic [76] . ${\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$ $p$ $p$ $p$

Variații și generalizări

Cea mai apropiată generalizare a numerelor complexe a fost descoperită în 1843. S-a dovedit a fi corpul de cuaternioni , care, spre deosebire de câmpul numerelor complexe, conține trei unități imaginare, denumite în mod tradițional Conform teoremei Frobenius , numerele complexe sunt unul dintre cele trei cazuri posibile de algebră de diviziune finită-dimensională asupra câmpului. a numerelor reale. În 1919, s-a dovedit că atât numerele complexe din reale, cât și cuaternionii din numere complexe pot fi obținute printr-o procedură de dublare unică dimensională , cunoscută și sub numele de „ procedura Cayley-Dixon ” [77] . $i,j,k.$

Prin aplicarea ulterioară a acestei proceduri, se formează numerele descrise de Arthur Cayley în 1845, înainte de descoperirea acestui procedeu, și numite „ numerele Cayley ” (octonioni, octave). Numerele obţinute prin următoarea aplicare a procedurii se numesc sedenions . În ciuda faptului că această procedură poate fi repetată în continuare, un număr suplimentar de nume nu au încă [77] .

Alte tipuri de extensii de numere complexe ( numere hipercomplexe ):

Biquaternioane
Numere complexe de tip hiperbolic (dublu)
Numere complexe de tip parabolic (dual)

Note

Comentarii

↑
Cele două accente posibile sunt date după următoarele surse.
- Marea Enciclopedie Sovietică , ed. a III-a. (1973), volumul 12, p. 588, articol Numere complexe .
- Dicționar enciclopedic sovietic (1982), p. 613, articol Număr complex .
- Cea mai recentă ediție a Dicționarului dificultăților limbii ruse (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, p. 273) indică ambele opțiuni: numere complexe (complexe) .
- Marea Enciclopedie Rusă (Vol. 14, 2010) oferă opțiuni: Număr complex (pag. 691, autorul nu este specificat), dar Analiză complexă Copie de arhivă din 2 iulie 2019 pe Wayback Machine (p. 695, autor: membru corespondent al Academia Rusă de Științe E. M. Chirka ).
- Dicționarul ortografic al limbii ruse (ed. 6th, 2010), Dicționarul gramatical al limbii ruse, Dicționarul ortografic rus al Academiei Ruse de Științe , ed. V. V. Lopatina (ed. 4th, 2013) și o serie de alte dicționare indică opțiuni: complex și complex (mat.) .
↑ Sub rezerva consistenței sistemului de numere reale.
↑ Adică diferă de (câmpul funcțiilor raționale pentru un set de variabile ale continuumului de putere ) printr -o extensie algebrică $\mathbb {Q} (x_{i}), i\in \mathbb {R}$ $x_{i}$
↑ Deoarece o mapare într-un câmp algebric închis poate fi întotdeauna extinsă la o extensie algebrică, pentru a stabili un izomorfism între câmpuri algebrice închise este suficient să stabilim un izomorfism între subcâmpurile lor simple și o bijecție între bazele de transcendență.

Referințe

↑ Dicționar scurt de cuvinte străine. - Ed. a VII-a. - M . : Limba rusă , 1984. - S. 121. - 312 p.
↑ 1 2 3 4 5 Număr complex // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1979. - T. 2. - S. 1007.
↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 227.
↑ Manual de matematică elementară, 2006 , p. 211, nota de subsol.
↑ Manual de matematică elementară, 2006 , p. 222.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Algebră și analiză matematică, 1998 , p. 180-181.
↑ Partea reală . Preluat la 16 ianuarie 2018. Arhivat din original la 31 martie 2018. (nedefinit)
↑ Număr imaginar // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 708.
↑ Partea imaginară . Preluat la 16 ianuarie 2018. Arhivat din original la 31 martie 2018. (nedefinit)
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , p. 2.
↑ Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 72.
↑ 1 2 Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 237-239.
↑ Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 61-66.
↑ 12 Bunch , Bryan. Erorile și paradoxurile matematice. Capitolul „Eliminarea paradoxului prin definiție” . - Dover Publications, 1997. - 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 233-234.
↑ 1 2 3 4 5 Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 234-235, 239-240.
↑ GOST R 52002-2003. Inginerie Electrică. Termeni și definiții ale conceptelor de bază Arhivat 16 martie 2018 la Wayback Machine . Punctul 152. Amplitudinea complexă a unui curent (electric sinusoidal) este o mărime complexă, al cărei modul și argument sunt egale, respectiv, cu amplitudinea și faza inițială a unui curent electric sinusoidal dat.
↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979 , p. 6-10.
↑ Sveșnikov A. G., Tihonov A. N., 1967 , p. 14-15.
↑ 1 2 Algebră și analiză matematică, 1998 , p. 183-1851.
↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979 , p. 15-16.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. 7.
^ Weisstein , Eric W. nth Root pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , p. 3-4.
↑ 1 2 3 Cline Morris. Matematica. Pierderea certitudinii. - M . : Mir, 1984. - S. 138-139.
↑ 1 2 Stillwell D. Matematica și istoria ei. - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - S. 258-266. — 530 p.
↑ Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 57-61.
↑ Iuşkevici A.P. Leonard Euler. Viața și opera // Dezvoltarea ideilor lui Leonard Euler și știința modernă. sat. articole. — M .: Nauka, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 . - S. 15-47.
↑ Sharp O. Teoria funcţiilor unei variabile complexe . Preluat: 30 noiembrie 2017. (nedefinit)
↑ Rene Descartes. Geometrie. Cu o anexă de lucrări alese de P. Fermat și corespondența lui Descartes. - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 233. - 297 p. - (Clasice ale științelor naturale).
↑ Glazer G.I. Istoria matematicii la școală. Clasele IX-X. - M . : Educaţie, 1983. - S. 193. - 351 p.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V.I., 2010 , p. 7-15.
↑ Bronstein, Semendyaev, 1985 , p. 360.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 15-22.
↑ Sveșnikov A. G., Tihonov A. N., 1967 , p. 44.
↑ 1 2 Zaslavsky A. A. Transformări geometrice. - Ed. a II-a - M . : MTSNMO, 2004. - S. 58. - 86 p. — ISBN 5-94057-094-1 .
↑ 1 2 Evgrafov M. A., 1968 , p. 180-186.
↑ MAXimal :: algo :: Transformare inversă geometrică . e-maxx.ru . Preluat la 9 mai 2021. Arhivat din original pe 7 mai 2021. (nedefinit)
↑ E. A. Morozov, „Problema generalizată a lui Apollonius”, Matem. iluminare, ser. 3, 23, Izd. MTSNMO, M., 2019, 80–111 . www.mathnet.ru _ Preluat la 9 mai 2021. Arhivat din original la 9 mai 2021. (nedefinit)
↑ Privalov I.I., 1984 , p. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. zece.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , p. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. 12.
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 165.
↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 249-251.
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 167.
↑ Domeniul topologic // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5. - S. 386.
↑ Numere complexe. Clasele 9-11, 2012 , capitolul 5.
↑ Aplicații reale ale numerelor imaginare, 1988 , p. 78.
↑ Aplicații reale ale numerelor imaginare, 1988 , p. 114-124.
↑ Derbyshire, John. Obsesie simplă. Bernhard Riemann și cea mai mare problemă nerezolvată din matematică. - Astrel, 2010. - 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Privalov I.I., 1984 , p. paisprezece.
↑ Filippov A. F. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale. - Editorial URSS, 2004. - 240 p. — ISBN 5354004160 .
↑ Ecuația diferențelor // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 838.
↑ Sveșnikov A. G., Tihonov A. N., 1967 , capitolul 5.
↑ Sveșnikov A. G., Tihonov A. N., 1967 , capitolul 8.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 22-25.
↑ Markushevich A.I. Numere complexe și mapări conforme . - M . : Gostekhizdat, 1954. - 52 p. - (Prelegeri populare despre matematică, numărul 13).
↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Analiza matematică în cartografie prin intermediul sistemului de algebră computerizată . Preluat la 28 ianuarie 2018. Arhivat din original la 29 ianuarie 2018. (nedefinit)
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Probleme de hidrodinamică și modelele lor matematice. — M .: Nauka, 1973.
↑ 1 2 Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Mecanica cuantică (teoria nonrelativistă). - ediția a VI-a, revizuită. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 p. - („Fizica teoretică”, Volumul III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ Aplicații reale ale numerelor imaginare, 1988 , p. 132-144.
↑ Molchanov A.P., Zanadvorov P.N. Curs de inginerie electrică și radio, capitolul „Circuite liniare”. - BH V. - 608 p. - ISBN 978-5-9775-0544-4 .
↑ Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digital Spectrum, Signal and Logic Analyzers / Ed. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 164-165.
↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 227-233.
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 166.
↑ Numere reale și complexe . Consultat la 13 februarie 2018. Arhivat din original pe 6 februarie 2021. (nedefinit)
↑ 1 2 3 Sisteme numerice, 1975 , p. 167-168.
↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 230-233.
↑ John Stillwell. Cei patru stâlpi ai geometriei . — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. - S. 84-86. — 240 s. — ISBN 9780387290522 .
↑ 1 2 Faddeev D. K. Prelegeri despre algebră. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 p.
↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference ținută la Deinze, Belgia, 1993 . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 33. - 405 p. — ISBN 9789401120067 .
↑ David Marker. Teoria modelului: o introducere, ISBN 978-0-387-22734-4 . Propunerea 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. Vezi și câteva explicații Arhivat 14 mai 2018 la Wayback Machine .
↑ William Weiss și Cherie D'Mello. Fundamentals of Model Theory Arhivat 13 aprilie 2018 la Wayback Machine . Lema 7: Orice două câmpuri închise algebric cu caracteristica 0 și cardinalitate sunt izomorfe $\aleph_1$ și un comentariu după el.
↑ 1 2 număr p-adic // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia sovietică , 1977. - V. 1. - P. 100. : „ Această extindere este completarea câmpului numerelor raționale în raport cu evaluarea non-Arhimediană... Câmpul este compact local $Q_p$ ”.
↑ 1 2 Dickson, L.E. (1919), Despre quaternioni și generalizarea lor și istoria teoremei celor opt pătrate , Analele matematicii , seria a doua (Analele matematicii). — T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865

Literatură

Balk M. B. , Balk G. D., Polukhin A. A. Aplicații reale ale numerelor imaginare. - Kiev: școala Radianska, 1988. - 255 p. — ISBN 5-330-00379-2 .
Bronshtein IN , Semendyaev KA Manual de matematică pentru ingineri și elevi de liceu . - ed. al 13-lea. - M. : Nauka, 1985. - 544 p.
Bourbaki, N. Eseuri despre istoria matematicii. - M. , 1963.
Vilenkin N. Ya. , Ivashov-Musatov O. S. , Shvartsburd S. I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 11-a. Tutorial. - Ed. al 6-lea. - M . : Educaţie, 1998. - 288 p. — ISBN 5-09-008036-4 .
Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
Glazkov Yu. A., Varshavsky I. K., Gaiashvili M. Ya. Numerele complexe. Clasele 9-11. - M . : Examen, 2012. - 157 p. - ISBN 978-5-377-03467-4 .
Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968. — 472 p.
Kirillov A. A. Ce este un număr?. - M. , 1993. - 80 p. — ISBN 5-02-014942-3 .
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. - a 4-a ed. — M .: Nauka , 1972 .
Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Nechaev V. I. Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - 199 p.
Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe. - Ed. a XIII-a - M . : Fizmatlit, 1984. - 432 p.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Smirnov V. I. Un curs de matematică superioară în trei volume. - Ed. al 10-lea. - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, partea 2. — 816 p. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Solomentsev ED Funcțiile unei variabile complexe și aplicațiile acestora. - M . : Şcoala superioară, 1988. - 167 p. — ISBN 5-06-003145-6 .
Enciclopedia de matematică elementară (în 5 volume). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 p.
Ahlfors Lars V. Analiză complexă. O introducere în teoria funcțiilor analitice ale unei variabile complexe. - A treia editie. - Universitatea Harvard: Compania de carte McGraw-Hill, 1979. - 317 p. — ISBN 0-07-000657-1 .

Link -uri

Glazer G. Numere complexe (partea 1 din 2) . Jurnalul „Matematică”. - Nr. 10 (2001). Data accesului: 18 aprilie 2017. (nedefinit)
- (partea 2 din 2) , „Matematică” nr. 11 (2001).
Pontryagin L. Numere complexe // Kvant . - 1982. - Nr 3 .
Calculator de formule de numere complexe sub Windows . Data accesului: 17 ianuarie 2018. (nedefinit)
Etienne Gis , Jos Leys, Orellan Alvarez. Dimensiunile filmului. Capitolele5 și6: Numere complexe. (Rusă)

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Algebră peste inel
Dimensiune - Puterea lui 2	Numere complexe (mărimea 2) $\mathbb {C}$ Cuaternioane (mărimea 4) $\mathbb {H}$ Numere Cayley/Octonii/Octave (Mărimea 8) $\mathbb O$ Sedenions (mărimea 16) $\mathbb S$
Vezi si	Teorema Frobenius Număr hipercomplex Algebră Corp unitate imaginară